Séries et équivalents

OShine · May 2022

Bonjour,

Je ne comprends pas les passages encadrés.

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gebrane · May 2022

Moi non plus pour le premier cadran rouge et j'ai arrêté la lecture.

Alexique · May 2022

C'est que des questions de manipulations des limites, relations de comparaison... Y'a juste à y réfléchir 2 secondes quoi !
1) Quand $a_n \rightarrow 0^+$, $0<a_n<1$ APCR et alors quel est le signe de $b_n$ ? Ca, c'est pour un lycéen. En plus, on te fait faire l'étude de $x \mapsto x \ln(x)$ en Q1.
2) En gros, tu demandes pourquoi $\ln(x)=o(x)$ en $+\infty$ ? C'est aussi pour un lycéen.
3) Rien à dire, Tu as un truc - un autre truc négligeable devant truc, c'est bien équivalent à "truc".

En fait, si je remplace les $o$ et les $\sim$ par leurs définitions en terme de limite, on se retrouve avec des questions délicates pour un lycéen qui n'a pas bossé son cours et ses exos (croissances comparées, composition de limites,...).

gebrane · May 2022

Bonjour @alexique
Veux-tu expliquer la signification du contenu du premier cadran rouge

OShine · May 2022

@Alexique
Je connais les règles sur les équivalents, DL etc mais ce qui m'embrouille c'est qu'il y a du $n$, des $u_n$ et des $\ln (u_n)$ mélangés.
2) Ok en posant $X= - \ln (u_n) \longrightarrow + \infty$ on se retrouve avec du $\dfrac{ \ln X}{ -X} \longrightarrow 0$ par croissances comparées.
3) On a $b_n= \dfrac{u_n}{ \ln n} - \dfrac{u_n }{ \ln (u_n) } \dfrac{ o ( \ln (u_n) ) }{ \ln n}$
Or $\dfrac{u_n }{ \ln (u_n) } \dfrac{ o ( \ln (u_n) ) }{ \ln n} = o ( \dfrac{u_n}{ \ln n} )$. Donc $b_n = \dfrac{u_n}{ \ln n} - o ( \dfrac{u_n}{ \ln n})$
Ce qui signifie que $\boxed{b_n \sim \dfrac{u_n}{ \ln n}}$.
1) Je n'y arrive pas pour le $b_k$ positif, il y a aussi le $\ln n$ au dénominateur qui gêne. La limite est une forme indéterminée.

Alexique · May 2022

"Il y a du $n$, du $u_n$ et $\ln(u_n)$ donc tu es perdu ? Meilleure excuse ever celle-là !
"$3x+1=2x+4$ : "je suis perdu entre le $3x$, le $2x$ et le $1$ sans parler du $=$"

1) Mais on veut le signe de $b_n$ !!!! En quoi c'est gênant $\ln(n)$ pour trouver le SIGNE bon sang ? On veut juste le signe de $a_n\ln(a_n)$ et on sait que $a_n$ est positif et qu'il est "proche de 0" à partir d'un certain rang, qu'est-ce que tu veux que je dise de plus ? Est-ce qu'un élève de Terminale est capable de savoir le signe de $\ln(x)$ quand $x$ est proche de 0 ? Moi je pense qu'un certain nombre peuvent y arriver oui.

Et puis la limite qui est une forme indéterminée, tu peux développer ? Une forme indéterminée, c'est $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ ce qui n'est pas le cas ici. Si par contre une forme indéterminée, c'est une limite que toi, Oshine, tu ne sais pas déterminer, alors, on vient de faire un bond en arrière de quelques siècles malheureusement.

3) Tellement compliqué ta rédaction :
$\displaystyle b_n = \frac{u_n}{\ln(u_n)}\frac{\ln(u_n)+o(\ln(u_n))}{\ln(n)} \sim \frac{u_n}{\ln(u_n)}\frac{\ln(u_n)}{\ln(n)} = \frac{u_n}{\ln(n)}$, c'est tout.

OShine · May 2022

Ok merci en effet la première question était bête, $a_n$ tend vers $0$ donc est proche de $0$ donc $\ln (a_n)$ est négatif pour $n$ assez grand donc $- \ln(a_n)$ est positif donc $- a_n \ln (a_n)$ est positif et comme $\ln (n)$ est positif pour $n$ assez grand on a le résultat.

JLapin · May 2022

gebrane a dit :
Veux-tu expliquer la signification du contenu du premier cadran rouge

Veux-tu expliquer ce que tu souhaites voir clarifier ?

Alexique · May 2022

@gebrane : le cadran dit : $\lim_k a_k=0\ \implies b_n > 0$ à partir d’un certain rang. Je peux concéder que la phrase a une tournure syntaxique déplaisante. Les arguments sont un peu dans le désordre d’où le « car » qui arrive trop tard.

gebrane · May 2022

Ok, rédaction affreuse. Merci

JLapin · May 2022

Pour ma part, je trouve que c'est une rédaction sobre qui met l'accent sur le point fondamental, tout en laissant au lecteur la possibilité de réfléchir un peu par lui-même.

Rien d'affreux à mon avis.

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