Normales concourantes

PGL@R92 a dit :

A l'attention de celui qui a transformé le "Soit" en "Soient", je cite ci-dessous l'article du Petit Robert qui s'applique à cet emploi :

SOIT (subjonctif lexicalisé du verbe être, présentant une hypothèse ou une supposition) = Etant donné. Soit les deux hypothèses suivantes.

Soit, quand il a le sens de « étant donné, supposons », dans l'exposé d'un problème, s'écrit le plus souvent au singulier ; mais le pluriel, qu'on trouve parfois, n'est pas fautif : soit deux triangles opposés par le sommet ou soient deux triangles...

syms u v w k real

% Point d'intersection de deux tangentes à C_2, en U(a*cos(u); b*sin(u))
% et V(a*cos(v); b*sin(v)). Les deux équations sont:
% b*x*cos(u) + a*y*sin(u) - a*b  = 0 et b*x*cos(u) + a*y*sin(u) - a*b = 0

[xuv yuv]=IntersectionDeuxDroites(b*cos(u),a*sin(u),-a*b,b*cos(v),a*sin(v),-a*b);
xuv=Factor(xuv);
yuv=Factor(yuv);

% On trouve:
% xuv = -(a*(sin(u) - sin(v)))/(cos(u)*sin(v) - cos(v)*sin(u))
% yuv = (b*(cos(u) - cos(v)))/(cos(u)*sin(v) - cos(v)*sin(u))
% On écrit que ce point d'intersection est sur C_1:

F(x,y)=x^2/A^2+y^2/B^2-1; % Équation de C_1

Nuluv=numden(Factor(F(xuv,yuv)/8));
Nuluv=collect(simplify(Nul),cos(t));

% On trouve, après simplification:

Nuluv=2*(1-cos(u-v))*cos(t)^2 - 2*(cos(u)-cos(v))^2*cos(t) - 2*cos(u)*cos(v)*(1-cos(u-v));

syms di so % On pose di=(u-v)/2 et so=(u+v)/2  (différence et somme)

Nuluv=4*sin(di)^2*cos(t)^2 - 8*sin(di)^2*sin(so)^2*cos(t)-4*cos(u)*cos(v)*sin(di)^2;
Nuluv=Factor(Nuluv/(4*sin(di)^2)); % On simplifie par 4*sin(di)^2

% On trouve:

Nuluv=cos(t)^2 - 2*cos(t)*sin(so)^2 - cos(u)*cos(v);
Nuluv=cos(t)^2 - 2*cos(t)*sin((u+v)/2)^2 - cos(u)*cos(v);
Nuluv=cos(t)^2 + cos(t)*(cos(u+v)-1) - cos(u)*cos(v);

% On pose cos(t) = k. Ce paramètre détermine C_1 à partir de C_2.

P(u,v)=k^2+k*(cos(u)*cos(v)-sin(u)*sin(v)-1)-cos(u)*cos(v);

% Si on a trois tangentes à C_2, de paramètres u, v, w, les points 
% d'intersection de ces tangentes deux à deux sont sur C_1 si on a
% P(u,v)=P(u,w)=P(v,w)=0. On va montrer que les deux premières nullités
% entraînent la troisième, ce qui montrera le porisme.

% On élimine u entre P(u,v)=0 et P(u,w)=0
% Pour cela, on exprime cos(u) st sin(u) puis on écrit cos(u)^2+sin(u)^2=1

C=coeffs(Factor(P(u,v)*sin(w)-P(u,w)*sin(v)),cos(u),'All'); Cos=-C(2)/C(1);
S=coeffs(Factor(P(u,v)*cos(w)-P(u,w)*cos(v)),sin(u),'All'); Sin=-S(2)/S(1);
Nulvw=collect(numden(Factor(Cos^2+Sin^2-1)),k);

% On trouve
% Nulvw=2*(1-cos(v-w))*k^2 - 2*(cos(v)-cos(w))^2*k - 2*cos(v)*cos(w)*(1-cos(v-w));

Nul=simplify(2*(1-cos(v-w))*P(v,w)-Nulvw) % Égal à 0, donc c'est gagné !!

• perspecteur $U$. On écrit que $U=\left(M_{2}\wedge N_{2}\right)\wedge\left(M_{3}\wedge N_{3}\right)$ et on reprend ce qui a été fait pour $K$ et $E$. On trouve: \begin{eqnarray*} U & \simeq & \left(\begin{array}{c} \left(\mu^{2}-1\right)Ba\left(A+a\right)\left(Ab-Ba\right)\\ 2\,\mu\,Ab\left(B+b\right)\left(Ab-Ba\right)\\ \left(\mu^{2}+1\right)AB\left(A+b\right)\left(B+b\right) \end{array}\right)\\ \mathrm{locU} & \simeq & \left[\begin{array}{ccc} A^{2}b^{2}\left(B+b\right)^{2} & 0 & 0\\ 0 & B^{2}a^{2}\left(A+a\right)^{2} & 0\\ 0 & 0 & -a^{2}b^{2}\left(Ab-Ba\right)^{2} \end{array}\right] \end{eqnarray*}

• perspecteur $P$. Son trigone anti-cevien est formé des tangentes à $\outconi$, c.à.d. $\tra{M_{j}\cdot\outconi}$. On prend l'adjointe pour passer du trigone au triangle, puis on reprend les méthodes précédentes. On trouve: \begin{eqnarray*} P & \simeq & \left(\begin{array}{c} \left(\mu^{2}-1\right)\left(A+a\right)\left(Ab-Ba\right)\\ 2\,\mu\,\left(B+b\right)\left(Ab-Ba\right)\\ -\left(\mu^{2}+1\right)\left(A+a\right)\left(B+b\right) \end{array}\right)\\ \mathrm{locP} & \simeq & \left[\begin{array}{ccc} \left(B+b\right)^{2} & 0 & 0\\ 0 & \left(A+a\right)^{2} & 0\\ 0 & 0 & -\left(Ab-Ba\right)^{2} \end{array}\right] \end{eqnarray*} On place les foyers de ces deux coniques et on les trace. La distance focale de $\mathrm{locP}$ est: \[ f_{P}=\dfrac{\left(Ab-Ba\right)\sqrt{\left(A+a\right)^{2}-\left(B+b\right)^{2}}}{\left(A+a\right)\left(B+b\right)} \]

• Le fameux point $T$. On considère la matrice $\trim{}\doteq\left(M_{1},M_{2},M_{3}\right)$ où chaque colonne est normalisée sur la droite de l'infini. On se souvient de la formule $T\simeq P\bmul U$ obtenue dans le fil précédent  et donnant un certain point fixe $T$. Exercice: que vaut donc \[ \trim{}\cdot\left(\left(\trim{}^{-1}P\right)\bmul\left(\trim{}^{-1}U\right)\right) \] dans notre nouveau contexte ?

• Et les cubiques ? Le triangle isocèle indiqué par PGL@R92 conduirait à trois cubiques applaties. On considère donc un triangle poristique fixe, noté $A',B',C'$. Il permet de tracer les lieux variés, qui sont des coniques de foyers connus.

• Le centre circonscrit $O_M$. L'équation du cercle est  \[ \Gamma\left(\mu\right)\simeq\left[\begin{array}{ccc} 2\,AB\left(\mu^{2}+1\right) & 0 & F^{2}b\left(\mu^{2}-1\right)\\ 0 & 2\,AB\left(\mu^{2}+1\right) & aF^{2}\left(2\,\mu\right)\\ F^{2}b\left(\mu^{2}-1\right) & a\,F^{2}\left(2\,\mu\right) & -2\,AB\left(\mu^{2}+1\right)\left(Aa+Bb\right) \end{array}\right] \] Tant qu'à faire dans le stratosphérique, on peut écrire que les plongements de Veronese $\left[x^{2}+y^{2},x\,z,y\,z,z^{2}\right]$ sont co-hyperplanaires. Mais les méthodes zélémentaires sont bien aussi. Dans tous les cas, le centre, puis le lieu de celui-ci valent: \[ O_{M}\simeq\left(\begin{array}{c} \left(\mu^{2}-1\right)F^{2}b\\ 2\,a\mu\,F^{2}\\ -2\,AB\left(\mu^{2}+1\right) \end{array}\right)\ptv\mathrm{locO_{M}}\simeq\left[\begin{array}{ccc} 4\,A^{2}B^{2}a^{2} & 0 & 0\\ 0 & 4\,A^{2}B^{2}b^{2} & 0\\ 0 & 0 & -F^{4}a^{2}b^{2} \end{array}\right] \] Exercice: écrire l'incantation geogebra permettant d'obtenir cette conique à partir de $\inconi$.

• Le point gudulique. C'est le fameux " point M" de Lemoine, réintersection du circonscrit $\Gamma\left(\mu\right)$ et de $\outconi$. On n'hésite pas à faciliter la vie du solveur en laissant $\Gamma$ sous sa forme en $t_{1},t_{2},t_{3}$. Et alors on retrouve les points $M_{1},M_{2},M_{3}$. Il reste une quatrième solution. On simplifie à l'aide des fonctions symétriques et on trouve: \[ G_{u}=\left(\begin{array}{c} A\left(1-\mu{}^{2}\right)\\ 2\,B\mu\\ 1+\mu^{2} \end{array}\right) \] Autrement dit le " mystérieux paramètre $\mu$" n'est autre que le paramètre du point gudulique lorsque l'on décrit la conique $\outconi$ par $A\left(1-t^{2}\right):2Bt:1+t^{2}$. Un calcul élémentaire montre que $2O-G_{u}$, autrement dit le point de la conique ayant $-1/\mu$ pour paramètre est le quatrième point dont la normale passe par $K$.

• Exercice. Il y a une deuxième conique, et donc un deuxième point gudulique. Et alors...  
• Exercice. Il y a un deuxième orthocentre, celui du triangle des points de contacts. Et alors...
• Exercice. Lieu de $O_N$.

% Lieu de K: on élimine U et V entre Puv=0, x=XK et y=YK

syms x y

polUV=coeffs(Puv,V,'All');
polXK=coeffs(numden(x-XK),V,'All');
polYK=coeffs(numden(y-YK),V,'All');

ResXK=Factor(Resultant(polUV,polXK));
ResYK=Factor(Resultant(polUV,polYK));

% On trouve:

ResXK = 4*(- U^6*a^2*k^3 + 2*U^6*a^2*k^2 - U^6*a^2*k + x*U^6*a*k^2 - 2*x*U^6*a*k + x*U^6*a + U^6*b^2*k^3 - 2*U^6*b^2*k^2 + U^6*b^2*k - U^4*a^2*k^3 + 2*U^4*a^2*k^2 + 3*U^4*a^2*k + 3*x*U^4*a*k^2 + 2*x*U^4*a*k - x*U^4*a + U^4*b^2*k^3 - 2*U^4*b^2*k^2 - 3*U^4*b^2*k + U^2*a^2*k^3 - 2*U^2*a^2*k^2 - 3*U^2*a^2*k + 3*x*U^2*a*k^2 + 2*x*U^2*a*k - x*U^2*a - U^2*b^2*k^3 + 2*U^2*b^2*k^2 + 3*U^2*b^2*k + a^2*k^3 - 2*a^2*k^2 + a^2*k + x*a*k^2 - 2*x*a*k + x*a - b^2*k^3 + 2*b^2*k^2 - b^2*k)^2;
ResYK = 4*(y*U^6*b*k^2 - 2*y*U^6*b*k + y*U^6*b + 2*U^5*a^2*k^3 - 2*U^5*a^2*k^2 - 2*U^5*a^2*k + 2*U^5*a^2 - 2*U^5*b^2*k^3 + 2*U^5*b^2*k^2 + 2*U^5*b^2*k - 2*U^5*b^2 + 3*y*U^4*b*k^2 + 2*y*U^4*b*k - y*U^4*b + 4*U^3*a^2*k^3 - 4*U^3*a^2*k^2 + 4*U^3*a^2*k - 4*U^3*a^2 - 4*U^3*b^2*k^3 + 4*U^3*b^2*k^2 - 4*U^3*b^2*k + 4*U^3*b^2 + 3*y*U^2*b*k^2 + 2*y*U^2*b*k - y*U^2*b + 2*U*a^2*k^3 - 2*U*a^2*k^2 - 2*U*a^2*k + 2*U*a^2 - 2*U*b^2*k^3 + 2*U*b^2*k^2 + 2*U*b^2*k - 2*U*b^2 + y*b*k^2 - 2*y*b*k + y*b)^2;
 
% On garde:

ResXK = - U^6*a^2*k^3 + 2*U^6*a^2*k^2 - U^6*a^2*k + x*U^6*a*k^2 - 2*x*U^6*a*k + x*U^6*a + U^6*b^2*k^3 - 2*U^6*b^2*k^2 + U^6*b^2*k - U^4*a^2*k^3 + 2*U^4*a^2*k^2 + 3*U^4*a^2*k + 3*x*U^4*a*k^2 + 2*x*U^4*a*k - x*U^4*a + U^4*b^2*k^3 - 2*U^4*b^2*k^2 - 3*U^4*b^2*k + U^2*a^2*k^3 - 2*U^2*a^2*k^2 - 3*U^2*a^2*k + 3*x*U^2*a*k^2 + 2*x*U^2*a*k - x*U^2*a - U^2*b^2*k^3 + 2*U^2*b^2*k^2 + 3*U^2*b^2*k + a^2*k^3 - 2*a^2*k^2 + a^2*k + x*a*k^2 - 2*x*a*k + x*a - b^2*k^3 + 2*b^2*k^2 - b^2*k;
ResYK = y*U^6*b*k^2 - 2*y*U^6*b*k + y*U^6*b + 2*U^5*a^2*k^3 - 2*U^5*a^2*k^2 - 2*U^5*a^2*k + 2*U^5*a^2 - 2*U^5*b^2*k^3 + 2*U^5*b^2*k^2 + 2*U^5*b^2*k - 2*U^5*b^2 + 3*y*U^4*b*k^2 + 2*y*U^4*b*k - y*U^4*b + 4*U^3*a^2*k^3 - 4*U^3*a^2*k^2 + 4*U^3*a^2*k - 4*U^3*a^2 - 4*U^3*b^2*k^3 + 4*U^3*b^2*k^2 - 4*U^3*b^2*k + 4*U^3*b^2 + 3*y*U^2*b*k^2 + 2*y*U^2*b*k - y*U^2*b + 2*U*a^2*k^3 - 2*U*a^2*k^2 - 2*U*a^2*k + 2*U*a^2 - 2*U*b^2*k^3 + 2*U*b^2*k^2 + 2*U*b^2*k - 2*U*b^2 + y*b*k^2 - 2*y*b*k + y*b;

RX=coeffs(ResXK,U,'All');
RY=coeffs(ResYK,U,'All');

R=Factor(Resultant(RX,RY));

% On trouve:

R=4194304*k^8*(a + b)^6*(a - b)^6*(k - 1)^8*(- a^4*k^4 + 2*a^4*k^3 - a^4*k^2 + 2*a^2*b^2*k^4 - 4*a^2*b^2*k^3 + 2*a^2*b^2*k^2 + a^2*k^2*x^2 - 2*a^2*k*x^2 + a^2*x^2 - b^4*k^4 + 2*b^4*k^3 - b^4*k^2 + b^2*k^2*y^2)^3;

% On garde:

EqK=- a^4*k^4 + 2*a^4*k^3 - a^4*k^2 + 2*a^2*b^2*k^4 - 4*a^2*b^2*k^3 + 2*a^2*b^2*k^2 + a^2*k^2*x^2 - 2*a^2*k*x^2 + a^2*x^2 - b^4*k^4 + 2*b^4*k^3 - b^4*k^2 + b^2*k^2*y^2;
EqK=collect(EqK,[x y]);

% On trouve:

EqK=a^2*(k-1)^2*x^2 + b^2*k^2*y^2 - k^2*(k-1)^2*(a^2-b^2)^2;

% Ce qui est l'équation d'une ellipse C_3
% De plus A/B = a/b * (1-k)/k, donc C_3 a même excentricité que C_1

% Le lieu de H est bien sûr l'ellipse homothétique

Rapport=Factor(ok/oh) 

% On trouve Rapport=k*(k-1)(a^2-b^2)/(k*(a^2+b^2)-a^2)