Formule peu connue pour la fonction bêta d'Euler
Je vous propose de démontrer que pour $a>0,b>0$,
\begin{align}\displaystyle \text{B}(a,b)=\int_0^1 \frac{x^{a-1}+x^{b-1}}{(1+x)^{a+b}}dx\end{align}
Avec $\displaystyle \text{B}(a,b)=\int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1} dx$, la fonction bêta d'Euler.
Edit; erreur corrigée. Merci Homo Topi.
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Réponses
edit j'ai le livre. j'ai trouvé la formule. je peux te faire un scan
On commence par établir la formule:
\begin{align}\text{B}(a,b)=\int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx=\int_0^\infty \frac{x^{a-1}}{(1+x)^{a+b}}dx.\end{align}
On a :
\begin{align}\text{B}(a,b)=\int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx&\overset{u=\frac{x}{1-x}}=\int_0^\infty \frac{u^{a-1}}{(1+u)^{a+b}}du.\end{align}
Donc,
\begin{align}J(a,b)&=\int_0^1 \frac{x^{a-1}+x^{b-1}}{(1+x)^{a+b}}dx=\underbrace{\int_0^\infty\frac{x^{a-1}+x^{b-1}}{(1+x)^{a+b}}dx}_{2\text{B(a,b)}}-\underbrace{\int_1^\infty\frac{x^{a-1}+x^{b-1}}{(1+x)^{a+b}}dx}_{u=\frac{1}{x}}\\J(a,b)&=2\text{B(a,b)}-J(a,b)\\J(a,b)&=\boxed{\text{B(a,b)}}\end{align}