$f \in \mathcal{S}, \forall k \in \N, \int x^kf(x)dx = 0$
Bonjour, je cherche une fonction $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ non identiquement nulle telle que, pour tout $k \in \mathbb{N}, \int_{\mathbb{R}} x^{k} f(x) \mathrm{d} x=0$.
Où $\mathcal{S}$ désigne l'espace de Schwartz.
On note $F(f)$ la transformée de Fourier de $f$.
On a $F(f)^{(k)}(\xi) = (-i)^kF(x^kf(x))(\xi)$.
Donc $F(f)^{(k)}(0) = (-i)^kF(x^kf(x))(0) = (-i)^k \int_{\mathbb{R}} x^{k} f(x) \mathrm{d} x = 0$.
Il suffit donc de trouver une fonction $g \in \mathcal{S}$ dont toutes les dérivées sont nulles en $0$ et on pose: $f = F^{-1}(g)$.
La fonction $g = e^{\tfrac{1}{x(1-x)}}1_{]0,1[}(x)$ convient.
Est-ce correct ?
Merci d'avance pour votre aide.
Edit: erreur, manque du $-1$ dans l'exponentielle, mais je laisse comme tel pour comprendre le fil.
Où $\mathcal{S}$ désigne l'espace de Schwartz.
Voici ma résolution.
Soit $f$ une telle fonction.On note $F(f)$ la transformée de Fourier de $f$.
On a $F(f)^{(k)}(\xi) = (-i)^kF(x^kf(x))(\xi)$.
Donc $F(f)^{(k)}(0) = (-i)^kF(x^kf(x))(0) = (-i)^k \int_{\mathbb{R}} x^{k} f(x) \mathrm{d} x = 0$.
Il suffit donc de trouver une fonction $g \in \mathcal{S}$ dont toutes les dérivées sont nulles en $0$ et on pose: $f = F^{-1}(g)$.
La fonction $g = e^{\tfrac{1}{x(1-x)}}1_{]0,1[}(x)$ convient.
Est-ce correct ?
Merci d'avance pour votre aide.
Edit: erreur, manque du $-1$ dans l'exponentielle, mais je laisse comme tel pour comprendre le fil.
Réponses
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Je ne comprends pas bien ta solution car je ne suis pas très familier avec la transformée de Fourier, mais il me semble que : $\displaystyle \int_{\mathbb{R}}x^k e^{\frac{1}{x(1-x)}}\mathbf{1}_{]0,1[}(x)dx=\int_{0}^{1}x^k e^{\frac{1}{x(1-x)}}dx$, qui n'est pas nulle, et pas même convergente, me semble-t-il.
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Je pense qu'il voulait prendre $f(x)=\int_0^1 e^{itx}e^{-\frac{1}{t(1-t)}}\,dt$.
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Je proposerais : $f(x)=e^{-\left\vert x\right\vert ^{\frac{1}{4}}}\sin (\left\vert x\right\vert ^{\frac{1}{4}})$. A bisto de nas, il me semble qu'elle est bien élément de $\mathcal S$, mais je n'ai pas vérifié en détail.
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Ta fonction ne convient pas, elle n'est même pas dérivable en $0$.
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Tout à fait d'accord avec JLT sur l'omission du -1 dans l'exponentielle. La solution proposée me semble juste
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Oui effectivement, @JLT a raison.
J'ai rajouté : "$g = ...$", c'est peut-être ça qui était confus.
On a: $\displaystyle f = F^{-1}(g) = \int_{\mathbb{R}}e^{-itx}g(-t)dt = \int_0^1e^{itx}e^{\tfrac{-1}{x(x+1)}}dt$
@JLT tu as comme fraction $\frac{-1}{x(1-x)}$ et j'ai $\frac{-1}{x(1+x)}$, ai-je fait une erreur ?
Edit : erreur, mais je laisse comme tel pour comprendre la conversation -
Je me suis un peu amusé avec wolfram pour construire une fonction indéfiniment dérivable à décroissance rapide sur $\R^+.$
Je me restreins à $\R^+$. Il nous faut une fonction qui change de signe,
j'ai testé $\exp(-x)\sin x$ ça ne marche pas.
Ensuite $\exp(-\sqrt x)\sin \sqrt x$ ça ne marche pas,
et j'ai testé avec $\exp(-x^{\frac 14})\sin x^{\frac 14}$, à ma surprise ça marche dans les essais de wolfram exemple 1 exemple 2
Est-ce que quelqu'un a le courage pour démontrer que pour tout $n $, $$\int_0^{\infty} x^n \exp\big(-(x^{\frac 14})\big)\sin (x^{\frac 14})=0 \quad ?$$
@FDP ?Le 😄 Farceur -
La transformée de Fourier inverse ne comporte pas de signe moins.N.B. J'ai omis un facteur $\frac{1}{2\pi}$ qui ne sert à rien pour l'exercice.
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Non, c'est effectivement $\frac{-1}{x(1-x)}$. Par définition, $F^{-1}(g)(x)=\int e^{ixt} g(t)dt$ sinon tu obtiendrais par changement de variable $u=-t$ la transformée de Fourier de g.
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Je crois que cela vient des différentes définitions de la transformée de Fourier.
Je vais éditer ce message pour mettre mes définitions.
Ah non, j'ai effectivement oublié le $-1$ dans l'exponentielle de mon premier message, puis j'ai repris cette erreur par la suite. -
Oui Gebrane, si l'on pose : $J_n=\int_{0}^{+\infty }x^{n}e^{-x^{\frac{1}{4}}}\sin (x^{\frac{1}{4}})dx$, on a bien : $J_n=0$ pour tout $n \in \mathbb N$.Changement de variable $t=x^{\frac 14}$ puis calcul de $Z_n=\int_{0}^{+\infty }t^n e^{-t} e^{it} dt$, et $J_n=4 ~\textrm{Im}~ Z_{4n+3}$.Bonne fête de l'Ascension 2022.Fr. Ch.
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Par contre, voici mes définitions pour la transformée de Fourier, ça ne change évidemment en rien le résultat.
$\mathcal{F}(f)\left\{\begin{aligned} \mathbb{R}^{d} & \longrightarrow \mathbb{C} \\ \xi & \longmapsto \int_{\mathbb{R}^{d}} e^{-i\langle\xi, x\rangle} f(x) d x \end{aligned}\right.$
S'en suit le théorème.Théorème. Soit $f$ une fonction $L^{1}\left(\mathbb{R}^{d}\right)$ dont la transformée est aussi une fonction de $L^{1}\left(\mathbb{R}^{d}\right)$. Alors la fonction $f$ est continue et l'on a$\forall x \in \mathbb{R},\ f(x)=(2 \pi)^{-d} \int_{\mathbb{R}^{d}} e^{i\langle\xi, x\rangle} \widehat{f}(\xi) d \xi$ainsi que la relation de Fourier-Plancherel$\|\widehat{f}\|_{L^{2}}^{2}=(2 \pi)^{d}\|f\|_{L^{2}}^{2} .$Remarque.$-$ On peut écrire ce résultat sous la forme$\mathcal{F}^{2} f=(2 \pi)^{d} \check{f} \text { avec } \check{f}(x) \stackrel{\text { déf }}{=} f(-x) .$Merci beaucoup pour votre aide.
Il est important pour moi de vérifier et comprendre les résultats. -
Oui effectivement, cela venait de mon erreur dès le premier message, où j'ai écrit : $g=e^{\frac{1}{x(1-x)}} 1_{] 0,1[}(x)$
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C'est assez intéressant cet exercice, je crois que l'exemple de chaurien illustre le fait que ce théorème des moments (Hausdorff) n'est plus valable pour le cas où l'intégrale en question est sur $\mathbb{R}_+$ (pour $f$ continue disons) !
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M. Floquet, en effet, c'est un contre-exemple, qui est donné dans l'épreuve d'analyse de l'agreg 1991, question 1. b.
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@M.Floquet BonjourJe n'ai pas très bien compris cette phrase "et non plus seulement sur un segment".Sur un segment la seule fonction continue qui vérifie le truc est la fonction nulle par WeierstrassLe 😄 Farceur
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Oui il y a une imprécision pardon, lorsque l'on considère l'intégrale sur un segment on se réduit à une application du théorème de Weierstrass et cela donne la fonction identiquement nulle. En revanche, si l'on considère la même intégrale mais sur $\mathbb{R}_+$, cela ne marche plus comme le montre le contre-exemple de chaurien.
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A vrai dire, je n'avais pas vu le contre de Chaurien après édition de son message. Personnellement j'ai retrouvé le contre par un pur hasard. Il serait intéressant de prolonger l exemple sur tout RLe 😄 Farceur
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Bonjour!
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