Formule probabilité via une intégrale

Bonjour, merci pour votre réponse. J'ai l'impression que ce n'est pas tout à fait correct, mais j'aurais peut-être dû plus clarifier.

Une copule d'un vecteur $(X_1, \ldots, X_n)$ est, en gros et d'après Wikipedia, une fonction $C:[0, 1]^n \to [0, 1]$ qui vérifie $F(x_1, \ldots, x_n)=C(F_1(x_1), \ldots, F_n(X_n))$, où les $F_i$ sont les fonctions de répartition marginales du vecteur et où $F$ est la fonction de répartition conjointe, définie par $F(x_1, \ldots, x_n) = \mathbb{P}(X_1 \leq x_1, \ldots, X_n \leq x_n)$. Du coup, la formule doit être valable même si les vecteurs $(X_1, \ldots, X_n), (Y_1, \ldots, Y_n)$ ne sont pas à valeurs dans $[0, 1]^n$.

De plus, il n'est pas nécessairement question de vecteurs absolument continu. Par exemple, un vecteur $(U, \ldots, U)$, où $U$ est une variable de loi uniforme sur $[0, 1]$,  a pour copule $C(u_1, \ldots, u_n)=\mathrm{min}(u_1, \ldots, u_n)$, mais il n'est pas absolument continu. Donc les vecteurs considérés ne possèdent pas forcément une densité (en tout cas, si j'ai bien compris la source) mais les lois marginales sont tout de même continues.

En fait, j'arrive à peu près à me convaincre que $\mathbb{P}(X_1 \leq Y_1, \ldots, X_n \leq Y_n)= \int_{\mathbb{R}^n} \mathbb{P}(X_1 \leq y_1, \ldots, X_n \leq y_n) \mathrm{d} \mathbb{P}_{(Y_1, \ldots, Y_n)}(y_1, \ldots, y_n)$, mais bien que cela soit assez proche de la formule de mon premier message, où l'intégrale se fait par rapport à la mesure induite par la copule $C_2$, je ne vois pas bien pourquoi ces deux intégrales sont égales.