Quelle est cette notation ?
Bonjour,
Que veut dire cette notation "$R(T)$" dans l'exercice suivant:
[$\LaTeX$ fournit la commande \ker. AD]
Que veut dire cette notation "$R(T)$" dans l'exercice suivant:
Soient $H$ un espace de Hilbert et $T: D(T) \subset H \rightarrow H$ un opérateur linéaire, le noyau de $T$ est défini par $\ker(T)=\{x \in D(T)\mid T x=0\}$. Montrer que
1. Si $D(T)$ est dense dans $H$, alors $\ker\left(T^{*}\right)=R(T)^{\perp}$.
2. Si $D\left(T^{*}\right)$ est dense dans $H$, alors $\ker(T)=R\left(T^{*}\right)^{\perp}$.
3. Si $R(T)$ est fermé et $R(T)$ est dense dans $H$ et $\exists C>0$ tel que $\|T x\| \geqslant C\|x\|, \quad \forall x \in D(T)$, alors $T$ est un opérateur fermé.
4. Si $T$ est un opérateur fermé et $\exists C>0$ tel que $\|T x\| \geqslant C\|x\|, \forall x \in D(T)$, alors $R(T)$ est fermé.
[$\LaTeX$ fournit la commande \ker. AD]
Réponses
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Peut-être $\mathrm{Im} \left(T\right)$ car je l'ai déjà vu notée $\mathrm{Rank} \left(T\right)$.
Edit : plutôt $\mathrm{Range} \left(T\right)$ -
C'est $R$ pour Range (image de l'application $T$)
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Merci, vu l'exercice, c'est ce qu'il me semblait.
Je voulais cependant en être certain. -
C'est un peu étonnant de définir le noyau et pas cette notation.
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le piège de @gebrane
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Le 😄 Farceur
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Voilà ma résolution.
Je ne connaissais pas la définition d'un opérateur fermé, j'ai du regarder sur Wikipédia.
Je n'ai pas réussi la $2$, je n'ai que : $Im(T^*)\cap D(T) \subset \ker{T}$
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Lien en pdf de ma photo, si vous préférez :
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C' est bien. Il y a une petite coquille dans la 1.
Pour la deux, je ne connais pas ton cours et je ne sais pas si on peut s'en sortir sans la notion d'operateur fermable. Note que si D(T^*) est dense alors T est fermableLe 😄 Farceur -
Pour la $1$ je ne vois pas l'erreur !
Serait-ce, comme la 2, encore un problème sur les domaines de définition ?
En ce qui concerne mon cours, on a juste vu les adjoints et auto-adjoints dans un espace de Hilbert, opérateurs compacts et comme théorème final diagonalisation des opérateurs auto-adjoints compacts sur un espace de Hilbert.
L'exercice que j'ai fait n'était peut-être pas le plus adapté.
On n'a pas vu les opérateurs sur un sous-espace vectoriel de $H$.
Néanmoins, par analogie cela ne m'a pas trop posé de problèmes pour l'exercice, une fois la définition d'un opérateur fermé trouvée sur wikipedia.
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Dans la 1 il y a bien une coquille tu as écrit cad y appartient ker T a remplacer par y appartient à ker T*
Pour la deux, tu appliques la 1 avec S=T*, tu démontres donc $\ker\left(S^{*}\right)=R(S)^{\perp}$ c'est à dire $\ker\left(T^{**}\right)=R(T^*)^{\perp}$ et pour un opérateur fermable $T^{**}=\bar T$ (fermeture de $T$).
Le 😄 Farceur -
Tu as une bonne vision pour la 1!
Merci pour la 2.
Cet été, j'étudierai sûrement la théorie des opérateurs.
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Je devrais moins fréquenter le forum, je me fatigue les yeux . Bonne continuation cere tu es brillantLe 😄 Farceur
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Donc il y a une coquille dans l'énoncé, pour la question 2 il fallait montrer $\ker(\bar{T})=R(T^*)^\bot$ ou $\ker(T^{**})=R(T^*)^\bot$ (si on ne veut pas parler d'opérateur fermable) et non $\ker(T)=R(T^*)^\bot$
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