Isométrie affine

Remote1
Remote1
Modifié (May 2022) dans Géométrie
Bonsoir, J'ai besoin d'un coup de main pour un exercice de géométrie affine et euclidienne. Merci d'avance. Énoncé.
Soit f une isométrie admettant un point invariant O et un seul. Montrer que f est la composée de deux symétries orthogonales dont les axes contiennent O.
[Mon début] f admet O comme point invariant : f(O)=O. Je me suis proposé un point M de l'espace affine euclidien. Je souhaite montrer que f(M)=S°S'(M) où S est une symétrie orthogonale d'axe ∆ et S' une symétrie orthogonale d'axe ∆'. J'ai posé: S'(M)=M' S(M')=M''<=> MM'=M'M'' Puisque f est une isométrie (donc conserve les distances), pour tout M , M'; distance(f(M),f(M'))=MM' ... C'est tout ce que j'ai comme information... Mais jusque là je ne parviens pas à montrer ce qu'on demande...Du coup, pourriez-vous m'indiquez une piste ?

Réponses

  • gai requin
    gai requin
    Tu parles d'axes pour tes symétries orthogonales.
    Serait-ce un énoncé de géométrie euclidienne plane ?
  • Remote1
    Remote1
    Oui oui nous sommes dans le plan.
  • gai requin
    gai requin
    Bon alors, soit $\Delta$ une droite passant par $O$.
    Étudie $s_ {\Delta}\circ f$.
  • Remote1
    Remote1
    Salut, Super, merci beaucoup pour votre intervention.
  • pappus
    pappus
    Bonjour à tous
    Ik faut quand même préciser que l'isométrie affine dont il est question au début de ce fil est une isométrie directe et puisqu'elle a un unique point fixe $O$, il s'agit d'une rotation de centre $O$.
    Remote1 cherche donc à décomposer une rotation de centre $O$ en produit de deux symétries axiales dont les axes passent par $O$.
    On peut d'ailleurs se donner indifféremment soit la première soit la seconde.
    C'était un théorème bien connu des bacheliers d'autrefois dont on se servait surtout pour effectuer le produit de deux rotations de centres différents.
    Amicalement
    pappus
  • gai requin
    gai requin
    Les seules isométries du plan affine euclidien qui ont un unique point fixe sont les rotations.
    À ce propos, une telle écriture $f=s_{\Delta}\circ s_{\Delta'}$ permet d'exprimer l'angle de la rotation $f$ en fonction de $(\Delta',\Delta)$.
  • pappus
    pappus
    Merci Gai Requin
    Il valait mieux, je pense préciser que cette isométrie était directe et qu'on avait affaire à une rotation.
    Pourquoi être si cachottier et tourner autour du pot!
    L'angle de la rotation est $2(\Delta',\Delta)$.
    C'est dans le Lebossé-Hémery, même si sa définition des angles orientés est un peu fantaisiste et m'avait causé bien des torticolis quand j'étais en Classe de Mathématiques!
    Comment utiliser ce théorème de décomposition pour effectuer la composition de deux rotations de centres différents.
    Amicalement
    pappus

  • gai requin
    gai requin
    Modifié (May 2022)
    Soit $r_1$ et $r_2$ deux rotations de centres $O_1\neq O_2$ respectivement.
    Soit $\Delta=O_1O_2$ et $\Delta_1,\Delta_2$ (uniques) telles que $r_1=s_{\Delta_1}\circ s_{\Delta}$ et $r_2=s_{\Delta}\circ s_{\Delta_2}$.
    Alors $r_1\circ r_2=s_{\Delta_1}\circ s_{\Delta_2}$.
  • pappus
    pappus
    Modifié (May 2022)
    Bravo Gai Requin
    Il fallait que cela fût dit.
    Amicalement
    pappus
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