Continuité d'un opérateur
Bonjour
Soit $H=L^{2}([a, b])$ et $K \in L^{2}([a, b] \times[a, b])$. Soit $T$ l'opérateur défini par
$(T f)(x)=\int_{a}^{b} K(x, t) f(t) d t$
1. Montrer que $T$ est linéaire borné sur $H$.
Voilà ma rédaction.
Soit $f\in L^2(a,b), ||f||_2 = 1$
$\displaystyle \int_{(a,b)}(Tf(x))^2dx = \int_{(a,b)}\Big(\int_{(a,b)}K(x,t)f(t)dt\Big)^2dx \leq \int_{(a,b)}||K(x,.)||_{L^2(a,b)}^2||f||_{L^2(a,b)}^2$
Le théorème de Fubini-Tonelli, donne l'égalité presque partout suivante: $||K(x,.)||_{L^2(a,b)} \leq ||K||_{L^2([a,b]^2)}$
En prenant pour $K$ sont représentant $L^2$ tel que l'inégalité précédente ait lieu en tout point, on a:
$\displaystyle \int_{(a,b)}(Tf(x))^2dx \leq ||K||_{L^2([a,b]^2)}$
Sous réserve que le reste soit bon, est-ce que la phrase en italique est utile ou bien on peut se contenter de la bornitude presque partout de l'opérateur $T$ ?
Merci d'avance.
Voilà ma rédaction.
Soit $f\in L^2(a,b), ||f||_2 = 1$
$\displaystyle \int_{(a,b)}(Tf(x))^2dx = \int_{(a,b)}\Big(\int_{(a,b)}K(x,t)f(t)dt\Big)^2dx \leq \int_{(a,b)}||K(x,.)||_{L^2(a,b)}^2||f||_{L^2(a,b)}^2$
Le théorème de Fubini-Tonelli, donne l'égalité presque partout suivante: $||K(x,.)||_{L^2(a,b)} \leq ||K||_{L^2([a,b]^2)}$
En prenant pour $K$ sont représentant $L^2$ tel que l'inégalité précédente ait lieu en tout point, on a:
$\displaystyle \int_{(a,b)}(Tf(x))^2dx \leq ||K||_{L^2([a,b]^2)}$
Sous réserve que le reste soit bon, est-ce que la phrase en italique est utile ou bien on peut se contenter de la bornitude presque partout de l'opérateur $T$ ?
Merci d'avance.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Dans le cas où par exemple, pour $x_1$ on a pour tout $t\in [a,b]: K(x_1,t) = 0$, on aura quand même ton égalité?
C'est de mesure de lebesgue nul dans $[a,b]^2)$, cela ne veut pas dire que $||K||_{L^2([a,b]^2)} = 0$
je pense que tu as fais trop compliqué une fois que tu as utilisé Cauchy Schwarz au lieu d'écrire $||K(x,.)||$ garde l'écriture de la norme de $K$ sous forme intégrale, la norme de $||K||_{L^2([a,b]^2)}$ va apparaître naturellement.
et ton inégalité ici $||K(x,.)||_{L^2([a,b])} \leq ||K||_{L^2([a,b]^2)}$ n'est pas vraie, prends le cas $a=0$ ,$b=1$ et $K$ tel que $||K(x,.)||_{L^2([a,b])}= 1$ si $x \in [0, 1/2]$ et $0$ si $x \in [1/2,1]$ comme contre exemple, sur une partie non négligeable l'inégalité est inversé.
sinon pour ta deuxième question l'ensemble $\{x_1\} \times [a,b]$ est de mesure nulle donc ca ne change rien au calcul.
Pour le deuxième message, je faisais référence à la réponse d'un intervenant qui disait:
" Par Fubini-Tonelli, on a $\int_a^b ||K(x, \cdot)||_2 \mathrm{d} x = ||K||_2$ "
La réponse a été supprimé depuis.
En fait, sous réserve d'un carré en plus des deux cotés de l'égalité, c'est bien ce que me dit Barjovrille et c'est vrai.
Effectivement, je me suis emmêlé, je voulais utiliser l'inégalité suivante du théorème de Fubini-Tonelli:
$\displaystyle \left\|\int_{X_{2}} F\left(x_{1}, x_{2}\right) d \mu_{2}\left(x_{2}\right)\right\|_{L^{1}\left(X_{1}, d \mu_{1}\right)} \leq\|F\|_{L^{1}\left(X_{1} \times X_{2}, d \mu_{1} \otimes d \mu_{2}\right)} $
Mais en effet, une fois arrivé à: $\displaystyle \int_{(a, b)}\left(\int_{(a, b)} K(x, t) f(t) d t\right)^{2} d x \leq \int_{(a, b)}\|K(x, .)\|_{L^{2}(a, b)}^{2}\|f\|_{L^{2}(a, b)}^{2} dx$
C'est "fini": $\displaystyle \int_{(a, b)}\|K(x, .)\|_{L^{2}(a, b)}^{2}\|f\|_{L^{2}(a, b)}^{2} dx= \int(\int K(x,t)^2dt\int f(t)^2dt ) dx = ||K||_2^2 $
Je crois que j'avais vu $\int_a^b ||K(x, \cdot)||_2^2dx$ comme un scalaire fixé, alors que ca dépend de $x$.
voila où a été mon bug.
Même problème pour la réponse que j'avais faites à l'intervenant.
J'avais fixé $x$, alors qu'on intègre sur $x$.
Franchement c'est grave comme faute d'inattention, faut peut-être que je me fasse diagnostiquer un TDA (ou une incompétence en maths tout court).
On a, sauf erreur:
$T^*g(t) = \int_{a}^{b}\overline{K(x,t)}g(x)dx$
C'est la dernière quesiton par contre.
En même temps, c'est tiré d'un examen, c'est peut-être faute de temps que l'exercice est aussi court.