Calcul de limite en utilisant l'exponentiellle
Bonjour les membres de les-mathematiques.net,
Quand je veux calculer une limite quand x tend vers a (a réel ou infini) d'une fonction u(x), quand est-ce que j'ai le droit de transformer u(x) en exp(ln(u(x)) ou ln(exp(u(x)) et utiliser les formules de limite de exponentielle et logarithme pour trouver sa limite ?
Merci d'avance.
Quand je veux calculer une limite quand x tend vers a (a réel ou infini) d'une fonction u(x), quand est-ce que j'ai le droit de transformer u(x) en exp(ln(u(x)) ou ln(exp(u(x)) et utiliser les formules de limite de exponentielle et logarithme pour trouver sa limite ?
Merci d'avance.
Réponses
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Dans le premier cas, ce n'est possible que lorsque $u(x)$ est strictement positif (sinon, il n'a pas de logarithme), dans le deuxième cas, c'est toujours vrai.
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Je te renvoie la question, quand as-tu le droit, d'après toi ?
Et j'ajoute une autre question : dans quels cas ça apporte quelque chose ? Tu as certainement un livre d'exercices sous les yeux , donne un exercice où tu penses que ça apporterait quelque chose, et explique ce que ça apporterait.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Rappel : Les mathématiques ne sont pas le droit. On y fait ce qu'on veut, simplement, une démonstration, un calcul, sont simplement l'application stricte de formules, définitions et théorèmes à la situation de départ.Dire "est-ce que j'ai le droit de ..." est dire "je ne sais pas quelle formule, règle ou définition je suis en train d'utiliser". C'est justement le moment de revenir à la formule, règle ou définition en cause pour l'apprendre vraiment (ici, par exemple le domaine de validité de exp(ln(a))=a).Cordialement.
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Pas besoin d'exponentielles, la croissance comparée suffit (*)Cordialement.(*) démontrée, bien sûr, en utilisant l'exponentielle (e à la fin)
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Gérard et pour n+a divisé par n+b, le tout à la puissance n^c. Tu procédes comment? Avec à,b,c des réels.Le 😄 Farceur
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Comme toi !
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Peut-être en t’aidant de la limite de (1+x/n)^n…
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Résumons. L a demandé un exemple à A. Un certain G à commis la bêtise de proposer un à L qui était destiné indirectement à A. Un second G à intervenu à sa place. Ensuite le premier G a demandé une expertise de G pour une autre limite. G a répondu qu' 'il procedera comme le premier G.Le 😄 Farceur
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Je ne doute pas que tout ça soit utile.
Ce sera utile à A. s'il manipule lui même ces notions. Pas s'il lit des trucs écrits par des gens savants.
Bisam a dit que telle manipulation était toujours autorisée et telle autre est autorisée uniquement dans certains cas.
Est-ce que Bisam sait par cœur ces 2 résultats ? Non, il réfléchit, et il retrouve en un centième de seconde ce qui est interdit et ce qui est autorisé.
Il ne fait pas appel à sa mémoire, mais à des règles logiques.
Ce sont ces règles logiques que A. doit acquérir. C'est impossible et sans intérêt de mémoriser des trucs comme ça.
Et Bisam a donné une explication de ces règles logiques.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Merci Lourran de préciser ce que je disais ce matin.On attend maintenant le retour de Abdoumahmoudy.Cordialement.
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Bonjour lourran , gerard0,gerard0 a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2357034/#Comment_2357034[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]Merci beaucoup pour vos informations.Mais si on a la fonction (x+1)^(1/x) , comment puis-je savoir si cette fonction est positive ou non pour que je puisse utiliser exp(ln(u)) pour cette fonction ?Merci d'avance. -
Tu t'attaques à des trucs 'compliqués' et tu n'as pas fait assez d'exercices simples. Tu ne peux pas réussir.
Il faut faire plein d'exercices simples, et la réponse à ta question, tu sauras la donner en 1 seconde.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
$(x+1)^{\frac 1 x}$ est continue sur son domaine de définition (je te laisse trouver ce qu'il est) donc la question ne peut se poser qu'en -1 (limite facile), en 0 et en $+\infty$. Dans ces deux derniers cas, la définition des puissances suffit : $a ^b =\exp(b\ln(a))$ ce qui revient à ta méthode, mais dans un cadre basique).Saurais-tu calculer toutes ces limites ?Cordialement.
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Bonjour gerard0, dans les deux derniers cas, pourquoi on peut utiliser (exp(ln(u)) (ma méthode) ?[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
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Parce que (message de Bisam) la définition des puissances d'exposants quelconques impose que le nombre soit positif.Avant de chercher des trucs de calcul, apprends les règles de base. ici, que veut dire $(x+1)^{\frac 1 x}$ ? Quelle définition as-tu ?Je t'avais dit "...sur son domaine de définition (je te laisse trouver ce qu'il est)". Manifestement, tu n'as pas cherché ce domaine de définition, sinon tu n'aurais pas écrit ce message. Inutile de poser des questions si tu ne sais pas de quoi tu parles, de parler de $\exp(\ln(u))$ si tu ne connais pas sérieusement ces deux fonctions. Ici, tu donnes l'impression de collectionner les écritures de calculs que tu ne sais pas faire ... Ça ne sert à rien !!Bon travail !
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Son domaine de définition est R* , car on a 1/x dans l'exposant , n'est-ce pas ?
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
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Non non, son domaine de définition est R*+ je pense, puisqu'on ne peut pas avoir un nombre négatif à la puissance d'un nombre décimal.Je ne sais pas si j'ai raison ou pas ou...
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Bonjour.Comme toujours, il faut revenir aux définitions, ici, celle de $a^b$.Quand $b$ est un réel variable ou quelconque, la seule qui fonctionne bien est $a^b = \exp(b\ln(a))$ qui n'a de sens que si $a>0$. Autrement dit, on n'a pas de bonne définition pour les puissances réelles quelconques de nombres négatifs (seulement des cas particuliers comme $(-2)^5 = -32$).Donc ta fonction impose, par son écriture, les deux conditions$x\neq 0$$1+x >0$Je te laisse terminer ...
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Donc le domaine de définition est ]-1,0[U]0, +oo[ .Donc toujours si on a une fonction puissance une autre fonction , la fonction qui est à la base doit être strictement positive.?!
[Lis-tu les messages précédents ?
Inutile de reproduire le message précédent. AD] -
On peut considérer que $-1$ et $0$ appartiennent au domaine de définition de $x\mapsto x^x$...La définition de l'ensemble de définition d'une fonction est discutable et en général, on essaye de faire des choix pratiques adaptés au contexte.
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Abdoumahmoudy,c'est effectivement raisonnable de se ramener à la définition par les exponentielles de $a^b$ lorsqu'on a des expressions de la forme $f(x)^{g(x)}$. Après, tout dépend d'où sort le problème. En effet, il n'existe pas de définition générale de $a^b$ pour $a$ et $b$ quelconques ; et c'est encore pire si on passe aux nombres complexes. Mais aucun problème pour $f(x)>0$, toutes les règles sur les puissances de réels strictement positifs sont cohérentes entre elles.Mais dans la pratique des utilisateurs des maths, ce genre de problème ne se pose pas vraiment. On sait d'où vient le calcul, et comment cette puissance a été obtenue. Par exemple, on trouve que $y=(1+x)^{\frac 1 x}$ où $x>0$. Plus de problème, la fonction est bien définie par la règle des puissances de nombres strictement positifs.Cordialement.
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Bonjour, donc ce que j'ai compris qu'on a pas de problème pour calculer une limite en utilisant cette l’exponentielle du logarithme, puisque , d'après la règle des puissances de nombres strictement positifs , si on a une fonction à la puissance d'une autre fonction, la fonction à la base est toujours strictement positive,ce qui ne pose aucun problème.Merci beaucoup.[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
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Bonjour, donc ce que j'ai compris qu'on a pas de problème pour calculer une limite en utilisant cette l'exponentiellle du logarithme, puisque , d'apres la règle des puissances de nombres strictement positifs , si on a une fonction à la puissance d'une autre fonction, la fonction à la base est toujours strictement positive,ce qui ne pose aucun problème.Merci beaucoup.[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
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@Abdoumahmoudy : si tu ne veux pas te retrouvé bloqué, fais ce que la modération te demande : arrête de recopier des messages en entier et met un lien.
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Pour avoir un lien, clic droit sur la date ou l'heure du message, puis le bouton de lien (deux carrés reliés penchés).
Mais pourquoi recopier le message précédent ? A priori, dans une discussion, c'est celui auquel on répond. Donc tu fais n'importe quoi ici !!Et finalement, toute cette discussion est du temps perdu. Pour certains calculs de limites, on calcule le ln de la fonction en cause (si c'est possible) puis on conclut ...Il est bien plus important de connaître parfaitement les fonctions qu'on va utiliser. -
Merci beaucoup pour votre aide.
. On me demande de calculer en utilisant l’exponentielle la limite en +infini de Ln(x) à la puissance alpha réel divisé par x à la puissance bêta>0.
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Bonjour!
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