Ensemble uniformément convexe

Bonjour,

Voici un point qui me pose problème dans un exercice.

On rappelle que l'espace vectoriel normé $(E,\|.\|)$ est uniformément convexe si et seulement si, pour tout $\epsilon \in ]0,1]$, $\delta(\epsilon):=\inf\{1- \|\frac{x+y}{2}\|; x, y\in E; \|x\|=\|y\|=1; \|y-x\|\ge 2\}>0$. 
Je noterai $G=\{1- \|\frac{x+y}{2}\|; x, y\in E; \|x\|=\|y\|=1; \|y-x\|\ge 2\}>0$.

On considère alors $f\in E^*$ une application linéaire et continue de $E^*$ dans $\mathbb{R}$, et une suite $(x_n)$ d'éléments de $E$ telle que $\|x_n\|=1$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ et $lim_{n\to +\infty} f(x_n)=\|f\|$.

Il s'agit de montrer que $(x_n)$ est une suite de Cauchy dans $(E,\|.\|)$.

Le corrigé commence ainsi : pour $\epsilon >0$ quelconque, $(E,\|.\|)$ étant uniformément convexe, si $x,y \in E$ satisfont $\|x\|=\|y\|=1$ et $\|\frac{x+y}{2}\|>1-\delta(\epsilon)$, alors $\|y-x\|\ge 2\epsilon$.

Je ne comprends pas bien d'où vient l'inégalité $\|\frac{x+y}{2}\|>1-\delta(\epsilon)$.
En effet, par définition de l'inf, je peux écrire que $1-\|\frac{x+y}{2}\|\ge \delta(\epsilon)$ et donc que $\|\frac{x+y}{2}\|\le 1-\delta(\epsilon)$.

En utilisant la caractérisation de l'inf, je tourne en rond avec les inégalités.
Il y a un élément de ce raisonnement qui m'échappe.

Merci pour votre aide !