Le cercle de Vu Thanh Tung
Bonjour,
un géomètre avisé peut être surpris par la nature géométrique de ce cercle.
un géomètre avisé peut être surpris par la nature géométrique de ce cercle.
1. ABC un triangle
2. U, V deux points
3. DEF le triangle U-cévien
4. 1a, 1b, 1c les cercles circonscrits aux triangles VBC, VCA, VAB
5. P, Q, R les seconds points d'intersection de (AV), (BV), (CV) resp. avec 1a, 1b, 1c
6. X, Y, Z les seconds points d'intersection de (PD), (QE), (RF) resp. avec 1a, 1b, 1c,
Question : X,
Y, Z et V sont cocycliques.
Merci pour votre aide pour la figure.
Sincèrement
Jean-Louis
Réponses
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Amusant. Sur la figure jointe, Y semble passer à côté d’un cheveu.
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Je connaissais le cercle du Wu-Tang, pas celui de Vu Thanh Tung.
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Bonjour Jean-Louis,Les relations de Céva sur $ABC$ donnent des bi-rapports qu'on transporte sur les cercles $(AVB)$, $(BVC)$, $(CVA)$ par les faisceaux de droites issues de $P$, $Q$, $R$.Par une inversion de centre $V$, ils deviennent le triangle $A'B'C'$ et le théorème de Mémélaüs montre que $X'$, $Y'$ et $Z'$ sont alignés, donc leurs inverses sont co-cycliques avec $V$.AmicalementPL -
BonjourJ'utilise les coordonnées barycentriques.Le triangle de référence ABC$A, B, C\simeq \left[\begin{array}{c} 1\\ 0\\0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\ 1\\0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} 0\\0\\ 1\end{array}\right].$U, V deux points$U, V \simeq \left[\begin{array}{c} u\\ v\\w\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} p\\ q\\r\end{array}\right].$DEF le triangle U-cévien$D, E, F\simeq \left[\begin{array}{c} 0\\ v\\w\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} u\\ 0\\w\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} u\\v\\0\end{array}\right].$1a, 1b, 1c les cercles circonscrits aux triangles VBC, VCA, VAB1a : $-(c^2 p q + b^2 p r + a^2 q r) x^2+(c^2 p^2 - b^2 p r + c^2 p r - a^2 q r) x y+(b^2 p^2 + b^2 p q - c^2 p q - a^2 q r) x z+a^2 p (p + q + r) y z=0.$1b : $(c^2 q^2 - b^2 p r - a^2 q r + c^2 q r) x y-(c^2 p q + b^2 p r + a^2 q r) y^2+b^2 q (p + q + r) x z+(a^2 p q - c^2 p q + a^2 q^2 - b^2 p r) y z=0.$1c : $c^2 r (p + q + r) x y-(c^2 p q + a^2 q r - b^2 q r - b^2 r^2) x z-(c^2 p q - a^2 p r + b^2 p r - a^2 r^2) y z-(c^2 p q + b^2 p r + a^2 q r) z^2=0.$P, Q, R les seconds points d'intersection de (AV), (BV), (CV) resp. avec 1a, 1b, 1c$P, Q, R\simeq \left[\begin{array}{c} -a^2 q r (p + q + r)\\ q (c^2 p q + b^2 p r + a^2 q r)\\r (c^2 p q + b^2 p r + a^2 q r)\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} p (c^2 p q + b^2 p r + a^2 q r)\\ -b^2 p r (p + q + r)\\r (c^2 p q + b^2 p r + a^2 q r)\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} p (c^2 p q + b^2 p r + a^2 q r)\\q (c^2 p q + b^2 p r + a^2 q r)\\ -c^2 p q (p + q + r)\end{array}\right].$
X, Y, Z les seconds points d'intersection de (PD), (QE), (RF) resp. avec 1a, 1b, 1c,
$X, Y, Z\simeq \left[\begin{array}{c} a^2 p q r (p + q + r) v w\\ r v (b^2 p (p + q) (r v - q w) +
q (c^2 p (-r v + q w) + a^2 r (p v + q (v + w))))\\q w (-c^2 p (p + r) (r v - q w) +
r (b^2 p (r v - q w) + a^2 q (p w + r (v + w))))\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} -r u (-q (-c^2 p + a^2 (p + q)) (-r u + p w) +
b^2 p r (q u + p (u + w)))\\ -b^2 p q r (p + q +
r) u w\\-p w (-c^2 q (q + r) (r u - p w) +
r (a^2 q (r u - p w) + b^2 p (q w + r (u + w))))\end{array}\right],\left[\begin{array}{c} q u (-r (-b^2 p + a^2 (p + r)) (-q u + p v) +
c^2 p q (r u + p (u + v)))\\p v (r (a^2 q - b^2 (q + r)) (q u - p v) +
c^2 p q (r v + q (u + v)))\\ c^2 p q r (p + q + r) u v\end{array}\right].$
Une équation barycentrique du cercle $\odot XYV$$\small -p (c^2 p q + b^2 p r + a^2 q r) (c^2 q^2 - a^2 q r + b^2 q r +Les coordonnées barycentriques du point $Z$ vérifient l'équation du cercle $\odot XYV$. En conclusion, X, Y, Z et V sont cocycliques.
c^2 q r + b^2 r^2) v w x^2-(-b^2 c^2 p^3 r^2 u v - a^2 c^2 p^2 q r^2 u v -
2 b^2 c^2 p^2 q r^2 u v + c^4 p^2 q r^2 u v -
2 a^2 c^2 p q^2 r^2 u v - b^2 c^2 p q^2 r^2 u v +
c^4 p q^2 r^2 u v - a^2 c^2 q^3 r^2 u v - b^2 c^2 p^2 r^3 u v -
a^2 c^2 p q r^3 u v - b^2 c^2 p q r^3 u v + c^4 p q r^3 u v -
a^2 c^2 q^2 r^3 u v - c^4 p^2 q^3 u w + b^2 c^2 p^3 q r u w +
a^2 c^2 p^2 q^2 r u w - c^4 p^2 q^2 r u w - a^2 c^2 p q^3 r u w +
b^2 c^2 p q^3 r u w - c^4 p q^3 r u w + a^2 b^2 p^2 q r^2 u w -
b^4 p^2 q r^2 u w + b^2 c^2 p^2 q r^2 u w + a^4 p q^2 r^2 u w -
a^2 b^2 p q^2 r^2 u w + b^2 c^2 p q^2 r^2 u w -
c^4 p q^2 r^2 u w - a^2 c^2 q^3 r^2 u w + a^2 b^2 p q r^3 u w +
a^4 q^2 r^3 u w - a^2 c^2 q^2 r^3 u w - c^4 p^3 q^2 v w +
a^2 c^2 p^3 q r v w - b^2 c^2 p^3 q r v w - c^4 p^3 q r v w +
b^2 c^2 p^2 q^2 r v w - c^4 p^2 q^2 r v w + a^2 c^2 p q^3 r v w -
b^2 c^2 p^3 r^2 v w - a^2 b^2 p^2 q r^2 v w + b^4 p^2 q r^2 v w +
a^2 c^2 p^2 q r^2 v w - c^4 p^2 q r^2 v w - a^4 p q^2 r^2 v w +
a^2 b^2 p q^2 r^2 v w + a^2 c^2 p q^2 r^2 v w + b^4 p^2 r^3 v w -
b^2 c^2 p^2 r^3 v w + a^2 b^2 p q r^3 v w) x y-q (c^2 p q + b^2 p r + a^2 q r) (c^2 p^2 + a^2 p r - b^2 p r +
c^2 p r + a^2 r^2) u w y^2+(-b^2 c^2 p^3 q r u v - a^2 c^2 p^2 q^2 r u v -
b^2 c^2 p^2 q^2 r u v + c^4 p^2 q^2 r u v - a^2 c^2 p q^3 r u v -
a^2 b^2 p^2 q r^2 u v + b^4 p^2 q r^2 u v - a^4 p q^2 r^2 u v +
b^4 p q^2 r^2 u v + a^2 c^2 p q^2 r^2 u v - b^2 c^2 p q^2 r^2 u v -
a^4 q^3 r^2 u v + a^2 b^2 q^3 r^2 u v + b^4 p^2 r^3 u v +
a^2 b^2 p q r^3 u v + b^4 p q r^3 u v - b^2 c^2 p q r^3 u v +
a^2 b^2 q^2 r^3 u v + b^2 c^2 p^3 q^2 u w + b^2 c^2 p^2 q^3 u w +
a^2 b^2 p^2 q^2 r u w - b^4 p^2 q^2 r u w +
2 b^2 c^2 p^2 q^2 r u w + a^2 b^2 p q^3 r u w - b^4 p q^3 r u w +
b^2 c^2 p q^3 r u w + 2 a^2 b^2 p q^2 r^2 u w - b^4 p q^2 r^2 u w +
b^2 c^2 p q^2 r^2 u w + a^2 b^2 q^3 r^2 u w +
a^2 b^2 q^2 r^3 u w + b^2 c^2 p^3 q^2 v w + b^2 c^2 p^2 q^3 v w -
c^4 p^2 q^3 v w - a^2 b^2 p^3 q r v w + b^4 p^3 q r v w +
b^2 c^2 p^3 q r v w - a^2 b^2 p^2 q^2 r v w + b^4 p^2 q^2 r v w +
a^2 c^2 p^2 q^2 r v w - c^4 p^2 q^2 r v w - a^2 c^2 p q^3 r v w +
b^4 p^3 r^2 v w + b^4 p^2 q r^2 v w - b^2 c^2 p^2 q r^2 v w +
a^4 p q^2 r^2 v w - a^2 b^2 p q^2 r^2 v w - a^2 c^2 p q^2 r^2 v w -
a^2 b^2 p q r^3 v w) x z-(b^2 c^2 p^3 q r u v + a^2 c^2 p^2 q^2 r u v +
b^2 c^2 p^2 q^2 r u v - c^4 p^2 q^2 r u v + a^2 c^2 p q^3 r u v -
a^2 b^2 p^3 r^2 u v + b^4 p^3 r^2 u v - a^4 p^2 q r^2 u v +
b^4 p^2 q r^2 u v + a^2 c^2 p^2 q r^2 u v -
b^2 c^2 p^2 q r^2 u v - a^4 p q^2 r^2 u v +
a^2 b^2 p q^2 r^2 u v - a^2 b^2 p^2 r^3 u v - a^4 p q r^3 u v -
a^2 b^2 p q r^3 u v + a^2 c^2 p q r^3 u v - a^4 q^2 r^3 u v -
a^2 c^2 p^3 q^2 u w + c^4 p^3 q^2 u w - a^2 c^2 p^2 q^3 u w +
b^2 c^2 p^3 q r u w - a^4 p^2 q^2 r u w + a^2 b^2 p^2 q^2 r u w -
b^2 c^2 p^2 q^2 r u w + c^4 p^2 q^2 r u w - a^4 p q^3 r u w +
a^2 b^2 p q^3 r u w - a^2 c^2 p q^3 r u w +
a^2 b^2 p^2 q r^2 u w - b^4 p^2 q r^2 u w +
b^2 c^2 p^2 q r^2 u w - a^4 p q^2 r^2 u w +
a^2 c^2 p q^2 r^2 u w - a^4 q^3 r^2 u w + a^2 b^2 p q r^3 u w -
a^2 c^2 p^3 q^2 v w - a^2 c^2 p^2 q^3 v w + a^4 p^3 q r v w -
a^2 b^2 p^3 q r v w - a^2 c^2 p^3 q r v w + a^4 p^2 q^2 r v w -
a^2 b^2 p^2 q^2 r v w - 2 a^2 c^2 p^2 q^2 r v w -
a^2 b^2 p^3 r^2 v w + a^4 p^2 q r^2 v w -
2 a^2 b^2 p^2 q r^2 v w - a^2 c^2 p^2 q r^2 v w -
a^2 b^2 p^2 r^3 v w) y z-(b^2 p^2 + a^2 p q + b^2 p q - c^2 p q + a^2 q^2) r (c^2 p q +
b^2 p r + a^2 q r) u v z^2=0.$Amicalement. -
Bonsoir,
Si Bouzar bouzarise, je vais rescassoliser:% Jean-louis Ayme - 22 Mai 2022 - Le cercle de Vu Thanh Tung clc, clear all, close all syms a b c syms aB bB cB % Conjugués aB=1/a; bB=1/b; cB=1/c; %----------------------------------------------------------------------- syms u v uB vB % Deux points U et V quelconques [oa oaB Ra2]=CercleTroisPoints(v,b,c,vB,bB,cB); % Cercle passant par V, B, C [pav qav rav]=DroiteDeuxPoints(a,v,aB,vB); % Droite (AV) syms p pB % Point P où les deux se coupent pB=-(pav*p+rav)/qav; Nulp=numden(Factor(((p-oa)*(pB-oaB)-Ra2)/(p-v))); Eqp=coeffs(Nulp,p,'All'); p=Factor(-Eqp(2)/Eqp(1)); pB=Factor(-(pav*p+rav)/qav); % On trouve p=Nump/Denp avec: % Nump = (a*b+a*c-b*c)*v*vB -a*v + a^2*b*c*vB^2 - a*(a*b+a*c+b*c)*vB + (a^2+b*c) % Denp = (a*vB-1)*(v+b*c*vB-b-c) %----------------------------------------------------------------------- [d e f dB eB fB] = TriangleCevien(a,b,c,u,aB,bB,cB,uB); d=Factor(d); e=Factor(e); f=Factor(f); dB=Factor(dB); eB=Factor(eB); fB=Factor(fB); [ppd qpd rpd]=DroiteDeuxPoints(p,d,pB,dB); % Droite (PD) syms x xB % Point d'intersection X de (PD) et du cercle VBC xB=-(ppd*x+rpd)/qpd; Nulx=numden(Factor(((x-oa)*(xB-oaB)-Ra2)/(x-p))); Eqx=coeffs(Nulx,x,'All'); x=Factor(-Eqx(2)/Eqx(1)) xB=Factor(-(ppd*x+rpd)/qpd) G(a,b,c)=x; GB(a,b,c)=xB; y=G(b,c,a); yB=GB(b,c,a); z=G(c,a,b); zB=GB(c,a,b); Bi=Birapport(x,y,z,v); BiB=Birapport(xB,yB,zB,vB); Nul=Factor(Bi-BiB) % Égal à 0, donc c'est gagné
Cordialement,Rescassol
-
Bonjour,
merci pour vos solutions...
J'ai utilisé le théorème de Ceva...mais plus simplement...
Sincèrement
Jean-Louis
-
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