Ensemble uniformément convexe
Bonjour,
Voici un point qui me pose problème dans un exercice.
On rappelle que l'espace vectoriel normé $(E,\|.\|)$ est uniformément convexe si et seulement si, pour tout $\epsilon \in ]0,1]$, $\delta(\epsilon):=\inf\{1- \|\frac{x+y}{2}\|; x, y\in E; \|x\|=\|y\|=1; \|y-x\|\ge 2\}>0$.
Je noterai $G=\{1- \|\frac{x+y}{2}\|; x, y\in E; \|x\|=\|y\|=1; \|y-x\|\ge 2\}>0$.
On considère alors $f\in E^*$ une application linéaire et continue de $E^*$ dans $\mathbb{R}$, et une suite $(x_n)$ d'éléments de $E$ telle que $\|x_n\|=1$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ et $lim_{n\to +\infty} f(x_n)=\|f\|$.
Il s'agit de montrer que $(x_n)$ est une suite de Cauchy dans $(E,\|.\|)$.
Le corrigé commence ainsi : pour $\epsilon >0$ quelconque, $(E,\|.\|)$ étant uniformément convexe, si $x,y \in E$ satisfont $\|x\|=\|y\|=1$ et $\|\frac{x+y}{2}\|>1-\delta(\epsilon)$, alors $\|y-x\|\ge 2\epsilon$.
Je ne comprends pas bien d'où vient l'inégalité $\|\frac{x+y}{2}\|>1-\delta(\epsilon)$.
En effet, par définition de l'inf, je peux écrire que $1-\|\frac{x+y}{2}\|\ge \delta(\epsilon)$ et donc que $\|\frac{x+y}{2}\|\le 1-\delta(\epsilon)$.
En utilisant la caractérisation de l'inf, je tourne en rond avec les inégalités.
Il y a un élément de ce raisonnement qui m'échappe.
Merci pour votre aide !
Voici un point qui me pose problème dans un exercice.
On rappelle que l'espace vectoriel normé $(E,\|.\|)$ est uniformément convexe si et seulement si, pour tout $\epsilon \in ]0,1]$, $\delta(\epsilon):=\inf\{1- \|\frac{x+y}{2}\|; x, y\in E; \|x\|=\|y\|=1; \|y-x\|\ge 2\}>0$.
Je noterai $G=\{1- \|\frac{x+y}{2}\|; x, y\in E; \|x\|=\|y\|=1; \|y-x\|\ge 2\}>0$.
On considère alors $f\in E^*$ une application linéaire et continue de $E^*$ dans $\mathbb{R}$, et une suite $(x_n)$ d'éléments de $E$ telle que $\|x_n\|=1$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ et $lim_{n\to +\infty} f(x_n)=\|f\|$.
Il s'agit de montrer que $(x_n)$ est une suite de Cauchy dans $(E,\|.\|)$.
Le corrigé commence ainsi : pour $\epsilon >0$ quelconque, $(E,\|.\|)$ étant uniformément convexe, si $x,y \in E$ satisfont $\|x\|=\|y\|=1$ et $\|\frac{x+y}{2}\|>1-\delta(\epsilon)$, alors $\|y-x\|\ge 2\epsilon$.
Je ne comprends pas bien d'où vient l'inégalité $\|\frac{x+y}{2}\|>1-\delta(\epsilon)$.
En effet, par définition de l'inf, je peux écrire que $1-\|\frac{x+y}{2}\|\ge \delta(\epsilon)$ et donc que $\|\frac{x+y}{2}\|\le 1-\delta(\epsilon)$.
En utilisant la caractérisation de l'inf, je tourne en rond avec les inégalités.
Il y a un élément de ce raisonnement qui m'échappe.
Merci pour votre aide !
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Réponses
1)Si par $E^2$ tu penses carré Cartésien, alors cela donne: $\Gamma=\{z\in E^2\vert \| \pi _1 z\|=1 \wedge \| \pi _2 z\|=1 \wedge \|( \pi _1 z)-( \pi _2 z) \| \geq 2\varepsilon\}$
2)Si par $E^2$ tu penses ensemble d'applications et non carré Cartésien alors cela donne:
$\Gamma=\{z\in E^2\vert \| z(0)\|=1 \wedge \| z(1)\|=1 \wedge \|z(0)-z(1) \| \geq 2\varepsilon\}$
@Igbinoba : on n'est pas des robots interpréteurs de symboles logiques. La formule de Thomas est parfaitement compréhensible. Pourquoi toujours essayer de rendre les maths plus absconses qu'elles ne sont ? Ça n'aide personne là, à mon avis.
J'ai eu du mal à comprendre. Mais c'est peut-être mon défaut à moi. J'ai besoin d'un formalisme parfait.
Tu as raison, je n'ai pas mis de parenthèses.
(on s'autorise à ne pas en mettre quand il s'agit de conjonctions consécutives)
La deuxième expression est juste due au fait que tu considère $E^2$ comme l'ensemble des applications de $2$ vers $E$.
Ce que cela apporte.
C'est juste mieux écrit comme cela, c'est tout. 😊
Édit. Il y a pas mal de choses en maths qui sont des héritages d'une époque où le formalisme mathématique était inexistant.
Effectivement, erreur de recopie : il s'agit bien de $\|y-x\|\ge 2\varepsilon$ !
Du coup, j'essaye toujours de montrer que pour $\varepsilon >0$ quelconque, $(E,\|.\|)$ étant uniformément convexe, si $x,y \in E$ satisfont $\|x\|=\|y\|=1$ et $\|\frac{x+y}{2}\|>1-\delta(\varepsilon)$, alors $\|y-x\|\ge 2\varepsilon$.
@rebellin @math2 : je comprends l'idée, mais ce début de corrigé proposé par l'énoncé, je ne le saisis pas.
Voici la bonne définition d'un espace uniformément convexe https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_uniformément_convexe.
Ne mentionne plus mon nom. Merci.
Cordialement.
Je sais que votre tâche est difficile et que vous avez autre chose à faire, mais je vous demande de bien vouloir gérer les excès de certains intervenants comme la personne dont le commentaire précède le mien. Je souhaites que cette personne me laisse tranquille.
Cordialement
Mais je respecte ta décision, ton point de vue et ton privilège de modérateur.
@gebrane Je n'en rajouterais pas, ne t'inquiète pas. Je pense que ce club n'a nul besoin de moi. De toute façon avec toutes les bizarreries qui se passent dans ce forum , ça fait longtemps que j'aurais dû arrêter d'y venir.
Cordialement
Une question! Est ce que ta définition d'un espace uniformément convexe est équivalente à celle de wiki https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_uniformément_convexe ?.