Une intégrale difficile

$x\rightarrow \left|\cos x\right|$ s'annule pour $x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ ce qui fait que l'intégrande devient infinie pour une infinité de valeurs de l'intervalle d'intégration.

(Les calculs non justifiés, juste pour donner l'idée) Par parité, on a $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\ln(\cos^2(x))}{x^2} dx=2I=\sum_{n\in\Z}\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}  \frac{\ln(\cos^2(x))}{x^2} dx$, puis changement de variable $x=t+n\pi$, on obtient $2I=\int_0^\pi  \ln(\cos^2(t))\sum_{n\in\Z} \left(\frac{1}{(t+n\pi)^2}\right)dt$. Avec le développement du $\frac{1}{\sin^2(t)}$ qui fait quand même un peu de travail (mais c'est classique comme dans le doc que j'avais mis en pièce jointe), on obtient $2I=\int_0^\pi \frac{\ln(\cos^2(x))}{\sin^2(x)} dx= 2 \int_0^{\pi/2}  \frac{\ln(\cos^2(x))}{\sin^2(x)} dx.$ 

La méthode proposée par Gebrane avec le calcul (en valeur principale) de $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\tan(x)}{x} dx=2\int_0^{+\infty}\frac{\tan(x)}{x} dx$  est aussi une excellente idée. Il faut de toute façon aussi un peu travailler  pour cette méthode, soit par exemple avec le développement de la fonction cotangente, soit en utilisant la fonction Digamma. 
Ce qui est marrant, c'est que pour le calcul de $\int_0^{+\infty}\frac{\tan(x)}{x} dx$, on peut refaire un coup de la formule de Lobachevsky sous la forme $\int_0^\infty g(x) \frac{\sin(x)}{x} dx=\int_0^{\pi/2} g(x) dx$.

En fait ça dépend fortement du cadre dans lequel cet exercice est posé et surtout avec quels résultats utilisables. 

Je n'ai pas compris l'allusion de jnico à l'intégrale $\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\tan(x)}{x} dx$ car l'intégrale $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\tan(x)}{x} dx$ est déjà clairement divergente.

En revanche l'intégrale $\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{\ln(\cos^2 x)}{x^2} dx$ est bien convergente.

jnico : d'accord mais comme la question initiale du fil était le calcul et donc l'existence d'une intégrale je n'avais pas bien compris ta remarque.

Ah non ! J'en ai fait étant petit, j'en ai utilisé dans ma thèse (mais pas de VP pour le coup), mais je reste au niveau de simple utilisateur !

Je peux proposer ce calcul en exercice si quelqu'un se charge des details sans me solliciter 

Bonjour

notre ami Chaurien parle d'alter-mathématique lorsque j'évoque les compensations de divergence dans une intégration
non il s'agit d'un raisonnement simple de limites ; prenons l'exemple trivial :

$I = \int_0^2\frac{1}{x - 1}dx$

la fonction à intégrer subit dans l'intervalle [0 ; 2] une discontinuité en x = 1
mais qui fait l'objet dans l'intégration d'une compensation de divergence de chaque côté du pôle x = 1

en effet I = limite pour t tendant vers 0 de $[ln|x-1|]_0^{1-t}$ + limite pour t tendant vers 0 de $[ln|x-1|]_{1+t}^2$

soit encore I = limite de ln|t| - limite ln|t| lorsque t tend vers 0

soit encore $I = ln\frac{t}{t} = ln1 = 0$

je signale que l'intégrale paramétrée $I_n = \int_0^{+oo}\frac{1}{(1-x)(2-x)(3-x)........(n-x)}$
est parfaitement définie (il existe n compensations de divergence autour des n pôles dans l'intégration)
son résultat dépend de n suivant une expression assez lourde

pour n = 3 alors $I_3=\int_0^{+oo}\frac{1}{(1-x)(2-x)(3-x)}dx= \frac{1}{2}ln\frac{3}{4}$

Cordialement