Indépendance des variables aléatoires

Bonjour,
pour $n\in\N^*$, on pose $X_{n}=u_{n-1}X_0+u_{n}X_1$, avec $u_{n+2}=u_{n+1}+u_{n}$ et $u_0=0,\quad u_1=1$.
On suppose que $X_0$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$ et $X_1$ suit une loi de Poisson de paramètre $\mu$  avec $X_0$ et $X_1$ sont indépendantes.
Ma question, on  cherche une condition nécessaire et suffisante sur le couple $(m,n)$ telle que les variables $X_m$ et $X_n$ sont indépendantes.