Questions à résoudre sujet ENS D 2022
Bonjour
https://www.cpge-paradise.com/Concours2022/MathD2022.pdf
1/ Résoudre les questions 1.2 , 1.6 et 4.3
2/ Écrire un corrigé entier du problème.
Merci.
https://www.cpge-paradise.com/Concours2022/MathD2022.pdf
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2/ Écrire un corrigé entier du problème.
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Réponses
Voilà de quoi occuper OS un certain temps ...........
Cordialement,
Rescassol
Je vais rester sur CCP - Centrale
N'empêche que, dans le cadre d'un exercice, on peut parfaitement avancer étape par étape, faire 'découvrir' la notion de limite inf et limite sup, et arriver à la démonstration du lemme de sous-additivité.
Dans une épreuve de 4heures, ça paraît très raisonnable.
Si on s'interdit ça, on s'interdit tout exercice.
Techniquement, l'intégrale écrite n'est pas hors programme : c'est une intégrale simple d'une fonction décrite comme une intégrale à paramètre.
Pour la question 1.2 :
On vérifie grâce à 1.1 que $]a,1]$ stable par $P_a$.
soit $x \in ]a,1]$ on pose $H_n : P_{n+1}^a(x) \geq P_n^a(x)$
on regarde le signe de $P_a(x)-x$ on a $H_0$ vraie.
soit $n \in N$ on suppose $H_n$
$P_{n+2}^a(x)= P_a(P_{n+1}^a(x))$ par croissance de $P_a$ on a $P_a(P_{n+1}^a(x))) \geq P_a(P_{n}^a)(x))$ d'ou $P_{n+2}^a(x) \geq P_{n+1}^a(x)$
on en déduit le que la suite $(P_{n}^a(x))$ est croissante par récurrence.
Donc la suite $(P_n^a(x))$ est croissante majoré donc elle est convergente or c'est une suite récurrente du type $f(u_n)= u_{n+1}$ donc elle converge nécessairement vers un point fixe de la fonction $P_a$ le seul point fixe de $P_a$ dans $]a,1]$ est $1$.
Donc on a convergence simple sur $]a,1]$ de $(P_{n}^a) $ vers 1.
On montre maintenant la convergence uniforme sur tout compact : (ici on aurai peut être pu aussi utiliser les théorèmes de type Ascoli mais je crois que ce n'est pas au programme?)
Soit $K$ un compact de $]a,1]$
Soit $\epsilon >0$ on pose pour tout $n \in N$ $U_n = \{ x \in ]a,1], 1-P_n^a(x)< \epsilon\}$
$U_n$ est un ouvert par continuité des $P_n^a$ et on a le recouvrement ouvert (grâce à la convergence simple) $ K \subset \bigcup_{n \in \mathbb{N}} U_n$
comme $K$ est compact il existe $N_{\epsilon}$ tel que $K \subset \bigcup_{n \leq N_{\epsilon}} U_n$ ( Borel-Lebesgue)
Or comme pour tout $x \in ]a,1] (P_n^a(x))$ est croissante $ \bigcup_{n \leq N_{\epsilon}} U_n = U_{N_{\epsilon}}$
Donc $K \subset U_{N_{\epsilon}}$
Et par croissance de $(P_{n}^a)$ on a $\forall x \in K ~~ \forall n > N_{\epsilon}~~~~, 1-P_n ^a(x)< 1 - P_{N_{\epsilon}}^a(x)< \epsilon$
Donc $ \forall \epsilon$ il existe $\N_{\epsilon}$ tel que $\forall n > N_{\epsilon} ~~ \forall x \in K ~~1-P_n ^a(x)< \epsilon$
d'ou la convergence uniforme sur tout compact.
Pour la deuxieme partie de la question on fait un raisonnement analogue en remarquant que sur $[0,a[ $ la suite de fonction $(P_n^a)$ est décroissante.
edit : pour $U_n$ on prend les $x$ dans ]a,1]
Je note $M$ le compact considéré, et je note $b$ sa borne inférieure :
$\lvert P_{n+1}(x)-1 \rvert \leq \lvert P_{n}(x) -1\rvert \lvert (1-\lambda)(P_n(x)-a)P_n(x) \rvert $
Puisque $P(x) \in [0;1]$, on a $\lvert (1-\lambda)(P_n(x)-a)P_n(x) \rvert \leq K$, où
$K=\sup_{[0;1]} \lvert Q \rvert$; où $Q$ désigne le polynôme $Q(x)=1-\lambda x(x-a)$. On peut alors en déduire que pour tout $x$ dans le compact, on a :
$\lvert P_{n+1}(x)-1 \rvert \leq K \lvert P_{n}(x) -1\rvert $
Par ailelurs, $P_{n}(x) -1 \leq 0$, et $P_n$ étant croissante (par composition), on a alors :
$\lvert P_{n+1}(x)-1 \rvert \leq K (1- P_{n}(x)) \leq K (1-P_n(b)) $
Soit alors $\epsilon \geq 0$. Puisque $b \in ]a;1]$, la suite $1-P_{n}(b)$ converge vers 0, et il existe notamment $n_0 \in \mathbb{N}$ tel que $n>n_0$ implique $1-P_{n}(b) < \epsilon$. Ainsi, il existe n_0, tel que : $n \geq n_0$ implique que pour tout $x$ dans le compact, on a :
$\lvert P_{n+1}(x)-1 \rvert \leq K\epsilon $
Soit :
$\lvert \lvert P_{n+1}-1\rvert \rvert_M \leq K \epsilon $
Ce qui signifie, par définition, que la convergence est uniforme. Même chose, ensuite, pour l'autre côté.
PS : on peut aussi, plus simplement, utiliser le théorème de Dini (mais je ne suis pas sûr qu'il soit au programme de prépa). En effet, on a :
* M est un compact
* la fonction vers laquelle $P_n$ converge (la fonction constante égale à $1$, en l’occurrence est bien continue)
* Pour tout $x \in M$, $P_n(x)$ est monotone (dans le cas précédent, croissante).
Donc la convergence est bien uniforme.
\[ f’(t) = - B(\gamma(a),\gamma’(t)) = B(f(t)\gamma(t)-\gamma(a),\gamma’(t)).\]
Les deux vecteurs précédent sont dans $T_{\gamma(t)} \mathcal{H}$, donc on peut appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz d’après la question précédente :
Je profite de l'ouverture de ce fil pour poser une question
A la question 2.2 faut il forcément utiliser des résultats d'optimisation sous contrainte ?
Si oui , j'arrive à monter qu'un éventuel extremum de B(v1,v2) avec v1 fixé dans H et v2 dans H prend la valeur -1 ( atteinte du reste avec v2=v1)
Mais il s'agit d'une condition nécessaire (obtenue en écrivant que le gradient de la fonction à optimiser et
celui de la contrainte sont colinéaires) celà n'est pas suffisant pour en déduire que B(v1,v2) =< -1
comment procéder ?
j'ai aussi pensé écrire v2=a v1 +w1 avec w1 dans v1+ ( cf question précédente)
on a alors B(v1,v2)= -a
et utiliser la contrainte B(v2,v2)=-1 mais sans succès ...
Merci
Merci LOU16 c'est clair et astucieux.
comment tu as fait pour avoir l'inégalité (2) ?
j'ai réussi a la démontrer en développant $(\sqrt{u+1} -\sqrt{v+1} -1)^2$ et en utilisant l'inégalité $2ab \leq a^2 + b^2$ pour minorer. Est-ce que vous connaissez une autre façon d'obtenir cette inégalité ?
Inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée aux vecteurs $(1,\sqrt u)$ et $(1,\sqrt v)$.
Toujours sur ce problème , difficile pour moi ! J'ai deux questions concernant la partie V
a) question 5-1
quelqu'un pourrait-il me donner une indication de départ pour montrer la finitude de l'ensemble proposé ?
b) question 5-6
la question 5-4 permet à v donné de H d'exhiber (via quelques calculs) une g12 du sous-groupe engendré par Sw1 et Sw2 qui vérifie B(g12(v),w1) >=0 et B(g12(v), w2) >=0
pour ce même v la question 5-5 et le résultat de la 5-1 permettent par l'absurde d'assurer l'existence d'une (et même une infinité) de g3 de Gamma qui vérifie B(g3(v) ,w3) >=0
Mais je n'arrive pas à "raccorder" ces deux cas pour montrer l'existence d'une g de Gamma telle que g(v) soit un élément de T.
c'est-à-dire vérifiant B(g(v), wi) >=0 pour i=1,2,3
Merci d'avance pour une aide.
En passant par l'intermédiaire de v0 comme tu le proposes
Pour le triplet (v0, g(v0), R ) il n' y a qu'un nombre fini de g qui conviennent ?
Si je note a_ij les coefficients de la matrice associée à g , alors ils sont tous dans Z (car g élément de Gama),
puis l'exploitation de -B(v0,g(v0)) =< ch(R) montre que a33 est bornée donc a33 ne prend qu'un nombre fini de valeurs puisque dans Z
Ensuite en exploitant le fait que g(V0) doit être dans H alors a13 et a23 sont aussi en nombre fini.
Soit g(v0) ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs.
Mais qu'en est-il sur les deux autres vecteurs de la base canonique de l'espace V c'est à dire e1=(1,0,0) et e2= (0,1,0)=w1 ?
Sinon pour généraliser à v et w quelconque dans H je pense qu'en écrivant par inégalité triangulaire
d( v0,g(v0)) =< d(g(v),g(v0)+d(g(v),w)+d(w,v0)
alors par l'absurde, la finitude des g pour le couple (v0, g(v0)) et R'=R + d(v,v0) + d(W,v0), entraine bien la finitude des g pour w et g(v) avec R quelconque.
Sinon pour la question 5-6
il y a nécessairement pour v donné dans H g=Id ou g=Sw3 qui vérifie B(gv,w3) >= 0 (pas besoin du résultat de la 5-1 à ce stade)
à partir d'une g de S12 qui assurait la condition pour w1 et w2 j'ai testé Sw3°g° ; g°Sw3; Sw3°g°sw3 mais sans succès ...
Merci.
Avec (g(v1), v0 ) et (g(v2), v0 ) on " contrôle " la dernière ligne de la matrice avec a31 et a32 qui prennent un nombre fini de valeurs et ensuite avec le fait que g(v1) et g(v2) sont dans H le reste des coefficients prend aussi un nombre fini de valeurs donc g(v1), g(v2), g(v0) prennent un nombre fini de valeurs.
Pas simple cette question !
Dans la démo , je pense que les g1, g2, etc.. ne sont pas forcément Sw3 mais Sw3 ou Id
Pour la contradiction finale , effectivement l'invocation de 5-1 semble convenir puisque les gn sont toutes différentes
( car différentes au moins sur le vecteur v du fait des inégalités strictes ) et on aurait donc une infinité de g satisfaisant d( g(v), v0) < R= d(g1(v),v0)
il y a peut être plus simple mais bravo cependant !
Encore sur ce problème (à petite dose quotidienne) j'ai un souci sur la question 6-3.
Pour v donné de H, et comme T est compact avec v0 dans T, alors pour les g telles que g(v) dans T il existe R tel que d(gv, v0) =< R
(prendre par exemple pour R le diamètre de T qui est fini)
dans ces conditions le résultat de la question 5-1 montre qu'il n'y a qu'un nombre fini de telles g, mais ce nombre peut dépendre de v.
Et ici la constante C doit être valable pour tout v de H.
Lorsque v est dans U Pk je pense qu'on peut trouver une constante C indépendante du v choisi.
En effet en tenant compte de la question 6-2 , pour tout k les vecteurs v de Pk de composantes zv < s sont en nombre fini égal à card Pk(s), et puisque T est compact toutes les composantes des vecteurs de T sont bornées et en particulier la composante zv, il suffit alors de prendre pour s un majorant des zv.
Il n'y a alors pas plus de g qui vérifient gv dans T que de vecteurs dans Pk(s) et on peut donc choisir une même constante C pour tous ces v, par exemple C=Pk(s)
Mais qu'en est-il lorsque v n'est pas à composante rationnelle ?
Peut-être en considérant une suite de vecteurs (vn) à composantes rationnelles et qui convergerait vers v, mais je ne suis pas certain qu'on puisse trouver une telle suite de vecteur dans H, par ailleurs malgré la continuité de g, on pourrait peut-être avoir g( v) dans T sans que g(vn) ne soit dans T même à partir d'un certain rang...
Si quelqu'un a une piste pour cette question, merci d'avance !
Dans le message précédent , pour la question 6-3 je me suis égaré sur la démonstration de la possibilité d'une même constante pour tous les vecteurs de Pk.
Merci donc d'ignorer cette partie du message.
(Par ailleurs je vous prie de bien vouloir m'excuser de ne pas utiliser Latex que je ne connais pas du tout .)
Pour 6-3 on peut écrire plus simplement
pour g dans Gama telle que gv dans T
d(v0,gv0) =< d(v0,gv) + d(gv,gv0)
soit d(v0,gv0) =< delta + d(v,v0)
en ayant noté delta= diamètre de T (qui est compact donc diamètre fini)
Ensuite d'après la question 5-1 appliquée à (v0,gv0) et R= delta+ d(v0,v)
l'ensemble de ces g est fini et le cardinal dépend donc à priori de z_v
On peut alors juste dire que pour tous les vecteurs de H en dessous d'une hauteur donnée alors la constante C peut être choisie identique .
La question demeure donc de l'existence d'une même constante pour tous les vecteurs de H .
Est ce que je comprends mal l'énoncé , sa formulation est elle ambiguë ?
quoi qu'il en soit , pour la question 6-4 qui suit , je pense avoir démontré une partie de l'encadrement proposé , sans avoir besoin que C soit la même pour tout s .
( A noter que l'énoncé évoque arcch(s) pour s >= 0 , sans doute une coquille et qu'il faut considérer s>=1)
Pour la première inégalité
IPk(s)I =< I Gama( arcch(s) + D I . I Pk inter T I
on peut considérer une injection Phi de l'ensemble Pk(s) dans le produit cartésien Gama (arcch(s) + D) X (Pk inter T)
qui a tout v de Pk(s) associe le couple ( g_v , g_v(v))
Ceci est rendu possible car l'existence de g_v , avec g_v(v) dans T est donnée à la question 5-6 , et on a aussi la stabilité de Pk par Gama; par ailleurs avec la définition de D il est facile de montrer que g_v est bien un élément de Gama( arcch(s)+D)
Le caractère injectif de Phi ne pose pas de problème car g_v élément d'un groupe est bijective .
Pour l'autre partie de l'encadrement
1/C IGama(arcch(s)-D) I . I Pk inter T I =< I Pk(s) I
c'est plus compliqué ! Peut être en quotientant l'un des deux ensembles du produit cartésien Gama( arc(s)-D) X ( Pk inter T) par le choix d'une relation d'équivalence appropriée qui rendrait injective une application bien choisie de ce nouveau produit dans Pk(s)
Je pensais à introduire dans (Pk inter T ) la relation d'équivalence v R v' si et ssi il existe g dans Gama tel que v'= gv alors les classes ont un cardinal < C(s) et donc en notant (Pk inter T)/ l'ensemble quotient on aurait
(1/C) I Pk inter T I =< I (Pk inter T)/ I ce qui va dans le bon sens pour conclure...
mais je n'arrive pas à construire une bonne application ...
Si vous avez des suggestions merci d'avance !
on choisit un représentant quelconque v dans la classe d'équivalence v/ et on pose Psi(g,v/) = gv
la fonction dépend du représentant choisi dans chaque classe, mais au fond ce n'est pas gênant.
Il est facile de voir que gv est un élément de Pk(s) grâce à la définition de D.
Par ailleurs pour l'injectivité de Psi
si gv=g'v' alors v' =g'-1 g v donc les classes sont les mêmes et v'=v
resterait à montrer que gv= g'v entraine que g= g' pour garantir l'injectivité mais je n'y parviens pas ...
Dagothur c'est fin et limpide , merci !
J'abuse peut être ! Mais aurais tu une solution pour l'encadrement de I Pk(s) I qui suit au 6-4 , enfin pour l'inégalité de gauche ( car celle de droite je pense l'avoir obtenue).
Gama( arcch(s)-D) X ( Pk inter T)
(g,v) R ( g',v') si et seulement si gv = g'v'
alors le cardinal de chaque classe est majoré par C
le cardinal de l'ensemble quotient est alors minoré par 1/C I Gama(arcch(s)-D) I. IPk inter T I
Et il y a bien une injection de l'ensemble quotient dans Pk(s) d'ou l'inégalité recherchée .
Merci Dagothur
Alors je n'hésite pas à poser d'autres questions !
À la question 6-5 après un développement limité de cos( alpha e^-t)
j'obtiens bien la limite demandée lorsque t ---> + infini
d( F(t, teta) , F(t, teta + alpha e^-t)) ----> argch( 1+ (alpha^2)/8 ).
Mais que signifie
" la convergence est uniforme ..." dans le cadre d'une limite de fonction f( t, teta ,alpha) sur l'adhérence de l'un de ses arguments (ici t) ?
Je connais la notion de convergence uniforme pour les suites ou les séries de fonction indicées par N,
il y a aussi la notion de continuité uniforme pour une fonction.