Encore une autre idée pour Syracuse
Étant donné que Syracuse est encore plus à la mode dernièrement je propose moi aussi comme un bon Shtameur mon idée géniale pour la résolution de cette conjecture.
Vu que je suis modeste je vais me limiter à exposer une stratégie pour démontrer qu'il ne peut pas exister de cycle autre que le trivial. Ainsi il restera encore à démontrer que toute suite "tombe sur 1" mais ceci sera laissé en exercice au lecteur...
Voici l'idée :
on se limite aux nombres impairs et on considère la fonction "Syracuse" $S:\mathbb{N}^{*}\to \mathbb{N}^{*}$ qui envoie tout nombre impair $n$ sur le prochain impair dans la suite de Syracuse de $n$. On remarque que 1 est un point fixe de cette fonction.
Ensuite il suffit de munir $\mathbb{N}^{*}$ d'une distance pour laquelle la fonction $S$ est strictement contractante. Pour finir on applique bêtement le théorème du point fixe des applications contractantes pour conclure que 1 est en fait l'unique point fixe de $S$ et que toute suite de Syracuse converge donc vers 1. Ceci ne prouve pas que toute suite tombe sur 1, mais qu'il n'existe pas de cycles.
On est à deux doigts d'avoir résolu la conjecture là, yakafokon... B-)-
Vu que je suis modeste je vais me limiter à exposer une stratégie pour démontrer qu'il ne peut pas exister de cycle autre que le trivial. Ainsi il restera encore à démontrer que toute suite "tombe sur 1" mais ceci sera laissé en exercice au lecteur...
Voici l'idée :
on se limite aux nombres impairs et on considère la fonction "Syracuse" $S:\mathbb{N}^{*}\to \mathbb{N}^{*}$ qui envoie tout nombre impair $n$ sur le prochain impair dans la suite de Syracuse de $n$. On remarque que 1 est un point fixe de cette fonction.
Ensuite il suffit de munir $\mathbb{N}^{*}$ d'une distance pour laquelle la fonction $S$ est strictement contractante. Pour finir on applique bêtement le théorème du point fixe des applications contractantes pour conclure que 1 est en fait l'unique point fixe de $S$ et que toute suite de Syracuse converge donc vers 1. Ceci ne prouve pas que toute suite tombe sur 1, mais qu'il n'existe pas de cycles.
On est à deux doigts d'avoir résolu la conjecture là, yakafokon... B-)-
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Réponses
Tu n'es donc pas un bon shtameur. Shtameur, c'est un truc inné, ne devient pas shtameur qui veut.
c'est du vrai shtam, du bon shtam, mais déjà du shtam de matheux, pas de débutant. Comme dans tout shtam, il y a une idée, inexploitée (et probablement inexploitable), mais l'annonce de cette idée remplace une vraie preuve. Puis il y a l'annonce que la conjecture est quasiment prouvée.
pas mal, Raoul.S ! Il ne manque que la proposition que les matheux fassent le peu de travail qui reste ...
Cordialement.
essaies avec
$\frac{3^m \times 2^d}{(3^m+1) \times (2^d+1)}$
avec m le nombre de montées et d le nombre de descentes
gerard0 a bien résumé : "mais l'annonce de cette idée remplace une vraie preuve."
@PMF merci mais je ne suis pas fan des montées et descentes.
Ceci dit si tu penses pouvoir faire mieux dans l'imitation du Shtameur ne te gêne pas, tu peux squatter ce fil.
Pour démontrer la conjecture de Syracuse il suffit de recopier la preuve de la convergence des suites de Goodstein : à chaque suite de Syracuse dans les impairs on fait correspondre une suite d'ordinaux qui a la bonne idée d'être strictement décroissante.
Étant donné qu'il n'existe pas de suite infinie strictement décroissante d'ordinaux, la suite de Syracuse s'arrête à 1.
PS. On y est presque là...
$3\times 2^{2\times 3} + 3\times 2^{2\times 2} + 3\times 2^{2\times 1} + 3\times 2^{2\times 0} = 2^{2^3}-1$
avec un peu de chance tu peux réécrire tout entier sous la forme de 2 et de 3 = une puissance de 2 - 1
et alors la conjecture de C... finger in the nose !
La première étape (mais je garderai les détails secrets pour l'instant), tous les nombres entiers $n > 1$ (*) peuvent s'écrire (écriture que nous appellerons écriture factorielle).
$$\displaystyle `\sum_{k=1}^{k<N} a_k.k!$$
Où $a_k \le k$ et $N! \le n <(N+1)!$
Or, pour tout nombre pair (>4) sa décomposition comme somme de 2 premiers ne peut contenir 2, ergo est la somme de deux premiers impairs dont l'écriture factorielle vérifie $a_1=1$, et comme 1 +1 = 2 CQFD.
Je sais qu'il y a encore une chose ou deux à rédiger, mais tout mathématicien digne de ce nom le fera sans difficulté (voire de tête),
(*) En fait cela marche pour tous les entiers, mais inutile de rajouter de la complexité ici.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
@AD bannis moi.
Maintenant si vous voulez être banni, qui suis-je pour vous en dissuader.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Alors fermons.
AD