Produit d'endomorphismes positifs
Bonjour
Je bute sur un exercice relativement classique mais qui est traité d'une manière que je ne connaissais pas.
Pour ceux qui aiment connaître l'origine des exercices, c'est le numéro 1056 publié dans le numéro 132-2 de la RMS, tombé au concours Centrale dans la filière PC l'an dernier.
Voici l'énoncé.
Soit $E$ un espace euclidien.
a) Soit $u$ un endomorphisme symétrique positif de $E$. Soit $x \in E$. Montrer que $\langle u(x),x\rangle= 0$ si et seulement si $x\in \ker(u)$.
b) Soient $a$ et $b$ deux endomorphismes symétriques positifs de $E$.
i) Montrer qu’il existe $h$ symétrique positif tel que $h^2 = b$.
ii) On pose $f = ab$ et $g = hah$. Montrer que $g$ est diagonalisable.
iii) En remarquant que $f = (ah)h$ montrer que $f$ et $g$ ont les mêmes valeurs propres et que les sous-espaces propres associés ont même dimension. Qu’en conclure sur $f$ ?
a) Soit $u$ un endomorphisme symétrique positif de $E$. Soit $x \in E$. Montrer que $\langle u(x),x\rangle= 0$ si et seulement si $x\in \ker(u)$.
b) Soient $a$ et $b$ deux endomorphismes symétriques positifs de $E$.
i) Montrer qu’il existe $h$ symétrique positif tel que $h^2 = b$.
ii) On pose $f = ab$ et $g = hah$. Montrer que $g$ est diagonalisable.
iii) En remarquant que $f = (ah)h$ montrer que $f$ et $g$ ont les mêmes valeurs propres et que les sous-espaces propres associés ont même dimension. Qu’en conclure sur $f$ ?
Je ne reviens même pas sur le fait que la notion d'endomorphismes symétriques positifs n'est pas au programme de la classe dans laquelle cet énoncé a été posé... car c'est tellement classique que je suis à peu près certain que tous les élèves en auront déjà entendu parler.
Les questions a) et b).i sont archi-classiques: ce sont sans doute les deux résultats les plus prouvés à propos des endomorphismes symétriques positifs.
La question b)ii demande seulement de vérifier les hypothèses du théorème spectral : aucun problème non plus.
En revanche, je ne vois pas comment faire la dernière question.
Plus exactement, je sais que la réponse est de prouver que $f$ est diagonalisable et que ses valeurs propres sont positives, et je sais m'en sortir lorsque $b$ (et donc $h$) est inversible, mais dans le cas contraire, je ne vois pas comment prouver ce qui est demandé.
Avez-vous une idée ?
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Réponses
Je réfléchis aux dimensions.