Calcul de limite

vw · May 2022

Salut,
pourquoi a-t-on : $$\quad \lim_{m \rightarrow \infty} \frac{C^mT^m}{m!}=0, $$
avec $C$ et $T$ sont des constantes strictement positives.

raoul.S · May 2022

Pour une réponse expéditive on peut évoquer $e^{CT}$...

MrJ · May 2022

Si tu connais les séries, le plus simple est d'utiliser la règle de d'Alembert (ça revient plus ou moins à la suggestion de raoul.S).

Sinon, il faut partiellement la redémontrer. En notant $(u_n)$, la suite étudiée, on remarque que $\displaystyle{\lim_{n\to +\infty}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=0}$. On en déduit qu'il existe un entier $N>0$ tel que

\[\forall n\geq N,\quad 0\leq \dfrac{u_{n+1}}{u_n} < \dfrac{1}{2}.\]

On en déduit une majoration de la suite $(u_n)$ avec une suite géométrique.

gebrane · May 2022

Pas besoin de connaître les séries pour appliquer la règle de d'Alembert (il y a une version pour les suites et une version pour les séries).

vw · May 2022

Si on a:
$e^{CT}=1+CT+\frac{CT}{2!}+..+\frac{C^{m}T^{m}}{m!}$. O peut écrire
$0<\frac{C^{m}T^{m}}{m!}<e^{CT} $mais comment on obtient la limite?
pour la deuxième réponse , d'où vient $\frac{1}{2}$?