Limite exponentielle

elouadih
elouadih
Modifié (May 2022) dans Analyse
Bonjour,
Je cherche a calculer cette limite sans utiliser  DVL, si quelqu'un peut m'aider s'il vous plaît, merci d'avance 
$\displaystyle \lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} - \frac{e^{x}}{(e^{x} - 1)^{2}}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^{2}} - \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x} )^{2}}$,   je suis bloqué.

Réponses

  • bisam
    bisam
    Modifié (May 2022)
    Le seul moyen que je vois pour éviter le recours aux développements limités serait d'utiliser un encadrement suffisamment précis de l'exponentielle au voisinage de 0.
    L'encadrement \[\forall x \in \left[0,2\right[,\qquad 1+x+\frac{x^2}{2}\leq e^x\leq \frac{1+\frac{x}{2}}{1-\frac{x}{2}}\] suffit (et il est prouvable en Terminale).
  • gebrane
    gebrane
    Régle de l'hôpital 
    Le 😄 Farceur


  • elouadih
    elouadih
    Mercii
  • raoul.S
    raoul.S
    Il faut la répéter plusieurs fois la règle de l'Hôpital.
  • jean lismonde
    jean lismonde
    Modifié (May 2022)
    Bonjour,
    ton identité initiale est fausse au second membre.
    En fait tu dois écrire ta limite : $\lim\Big(\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{4\sinh^2\frac{x}{2}}\Big)$
    avec $\sinh(x/2)$ le sinus hyperbolique de $x/2$.
    On pose $2X = x$
    Soit donc  $\lim\Big(\dfrac{1}{4X^2}-\dfrac{1}{4\sinh^2X}\Big)=\lim\dfrac{(\sinh X-X)(\sinh X+X)}{4X^2\sinh^2X}$. 
    Soit encore $\lim\dfrac{X^4}{12X^4}= \dfrac{1}{12}$.      
    Cordialement.
  • elouadih
    elouadih
    Modifié (May 2022)
    jean lismonde 
    comment on peut trouver ça sans développement 
    soit encore $\lim\frac{X^4}{12X^4}= \frac{1}{12}$       
    Merci.
  • julian
    julian
    Je doute que la règle de l'hôspital soit vue en terminale.... Excepté dans certains lycées d'élite. 
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