Similitude
Bonsoir, je me posais la question de savoir si les triangles CHA et AHB sont semblables, je pense qu'ils le sont et en calculant les rapports j'ai trouvé sqrt(3).
Désormais je cherche si on peut trouver une similitude qui envoie un triangle sur l'autre et comment la caractériser.
Cordialement, Lorentz.
Désormais je cherche si on peut trouver une similitude qui envoie un triangle sur l'autre et comment la caractériser.
Cordialement, Lorentz.
Réponses
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Bonjour Lorentz,Voir les chapitres "relations dans le triangle rectangle" dans les manuels de géométrie de troisième du siècle dernier ...Tout y est !Bien cordialement JLB
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Bonjour,
Essaie de mettre ton œil en $H$.
Cordialement,
Rescassol
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Fais tourner d’un quart de tour puis agrandis (ou réduis si tu pars de l’autre).Bonus : ils sont aussi semblables à ABC.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Les 3 triangles rectangles ont en commun un angle de même longueur que l'angle $\widehat{B}$ (+ un angle droit). donc ils sont semblables.
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Je dirais, des angles de même mesure peut-être...
Si on a une similitude, si on a un point invariant, quel peut bien être le centre de la similitude que l'on cherche ?
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Bonjour,J'ai l'impression que la question de Lorentz était " aidez-moi donc à trouver une méthode" plutôt que " eh, vous les géomètres, montrez-moi donc si vous savez faire" .Partons de l'indication principale donnée dans cet exercice: Lorentz utilise du papier quadrillé, et pas du papier blanc de chez blanc.Appelons $b,c$ les côtés du triangle, de sorte que $z_{A}=0$, $z_{B}=b$, $z_{C}=ic$. Ecrivons que $H\in BC$. En cartésien, cela donne $cx+by=b\,c$. Ecrivons que $H$ est sur la hauteur. En cartésien, cela donne $bx-cy=0$. On en déduit les coordonnées de $H$.Remarque incidente: ce serait plus joli de faire les calculs directement en utilisant des nombres complexes.On sait qu'une similitude s'écrit $z\mapsto\alpha z+\beta$. On cherche donc à résoudre \[ \left\{ \begin{array}{ccc} z_{H} & = & \alpha z_{H}+\beta\\ z_{A} & = & \alpha z_{C}+\beta\\ z_{B} & = & \alpha z_{A}+\beta \end{array}\right. \] On sait que cela est possible... puisque les triangles sont semblables. Et on résoud. Et on écrit le résultat en gros, gras, rouge. Et on se demande: comment ai-je fait pour ne pas le voir?Ensuite de quoi, on se lance dans les méthodes stratosphériques. Deux triangles sont semblables lorsque leurs classes de similitudes sont égales. Comment calcule-t-on la classe de similitude d'un triangle ?
Cordialement, Pierre. -
Sans calcul, à la manière d’un élève de sixième :
- Tu translates pour superposer deux sommets homologues (un par triangle),
- Tu tournes pour superposer deux côtés homologues (un par triangle),
- Si deux autres côtés homologues ne se superposent pas, tu as besoin d’une symétrie d’axe les côtés superposés au 2,
- Tu agrandis ou tu réduis en utilisant l’homothétie qui va bien pour superposer les côtés homologues (et parallèles) qui restent.
Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Bonjour à tousJ'adore la démo de Nicolas!Ces triangles $CHA$ et $AHB$ sont aussi semblables au triangle $CAB$. (C'est ainsi qu'on démontrait autrefois l'axiome de Pythagore qui accédait alors au statut de théorème).Mais quelles sont ces deux dernières similitudes?Ne répondez pas tous à la fois!!Amicalementpappus
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Bonjour,Passer de $CAB$ à $CHA$ : je vois la similitude indirecte de centre $C$, d'axe la bissectrice de $\widehat{C}$ et de rapport $\dfrac{1}{2}$Amicalement.
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Merci CaillouxC'est effectivement une similitude indirecte, chose qu'on ne pouvait dire à l'époque révolue où on démontrait l'axiome de Pythagore.Mais d'où sors-tu ce curieux rapport de similitude $\dfrac 12$?Amicalementpappus
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Bonjour à tous !
Je viens de lire tous vos messages et le problème de Lorentz m’a replongé au début de mon année de sup.
Si je ne m’abuse, tu pourrais résoudre ton problème ainsi.
On peut déjà remarquer qu’il serait intéressant de placer le centre de ta similitude en H (pour des raisons d’esthétiques, on aurait très bien pu travailler sur O)
Ensuite, si tu ne voulais faire qu’une rotation pour faire correspondre les deux triangles, cela ne fonctionnerait pas étant donné que ton triangle AHB est « plus gros » que ton triangle CHA.
Il te faut donc un rapport « a » pour ton homothétie de valeur CA/AB.
Il ne te reste donc plus qu’à trouver le bon angle de rotation qui ici serait (si je ne m’abuse) de -π/2 (sens trigonométrique).Et c’est ainsi que tu fera correspondre tes deux jolies triangles!Si tu veux, tu peux traduire ta similitude sous la forme d’une application complexe s :
s : z -> a*e(iθ) * (z - ω) + ω
qui est ici la représentation complexe de ta similitude.
Ton θ correspond à l’angle de ta rotation, ton a le rapport de l’homothétie et ω le centre de ta similitude (son invariant).
J’espère que ma contribution à ton problème t’aura éclairé !
Cordialement, Antoine. -
D'accord avec Jelobreuil, que je salue amicalement à cette occasion. J'ai connu ça comme élève il y a plus de soixante ans : en Troisième, on voyait les cas de similitude des triangles : quand les angles sont respectivement égaux, les triangles sont semblables. Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ et si $H$ est le pied de la hauteur relative à l'hypoténuse, alors les triangles $ABC$, $HBA$ et $HAC$ sont semblables, avec les sommets homologues dans le même ordre. D'où des relations métriques, qui conduisent immédiatement au théorème de Pythagore. Bien sûr, on ne voyait pas les éléments des similitudes transformant ces triangles l'un en l'autre : ça, c'était en Terminale.
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pappus a dit :Mais d'où sors-tu ce curieux rapport de similitude $\dfrac 12$ ?cailloux a dit :Passer de $CAB$ à $CHA$Autrement dit, une similitude indirecte $s$ telle que : $\begin{cases}s(C)=C\\s(A)=H\\s(B)=A\end{cases}$En sorte que le rapport de similitude $k=\dfrac{CH}{CA}=\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{HA}{AB}=\dfrac{1}{2}$Peut-être n'as-tu pas vu des angles de 30° (et 60°) sur la figure ?
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Merci Cailloux
Effectivement je n’avais pas vu ces angles car ma vue n’est plus très bonne!
Mais dans le cas général, on a toujours affaire à une similitude indirecte.C’est amusant que les premières similitudes dont on se servait autrefois pour montrer le théorème de Pythagore étaient indirectes.
Amicalement
pappus -
Bonjour.
L'argument des triangles semblables permet de montrer qu'il y a équivalence entre (1) la propriété de Pythagore (2) le côté opposé à l'angle droit est plus grand que les deux autres.
Et ensuite ?
Cordialement, Pierre. -
Bonsoir à tous, merci pour vos messages: je pense avoir trouvé la solution, j'ai trouvé une similitude directe qui envoie le triangle AHC sur AHB, avec un rapport d'homothétie sqrt(3) et d'une rotation d'angle pi/2.
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Bonjour Pappus, je serais curieux de connaître la similitude qui envoie ABC sur AHB. Je crois que dans ce cas il s'agit d'une similitude indirecte mais je crois qu'il faut connaître l'image de trois points pour en trouver l'expression. D'après ce que j'ai lu, il faut savoir décomposer une telle similitude en similitude directe puis d'une réflexion d'axe que je ne connais pas.pappus a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2357972/#Comment_2357972[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Cordialement, Lorentz.
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C’est la composée de, dans l’ordre :
- La translation de vecteur $\overrightarrow{AH}$,
- La rotation de centre H et d’angle −30°,
- La symétrie d’axe (BH),
- L’homothétie de centre H et de rapport…
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-- Schnoebelen, Philippe -
AHC : c'est AH puis HC, c'est AH puis un virage à gauche, sur la direction HC
AHB : c'est AH puis un virage à droite sur la direction HB
Un virage à gauche dans un cas, un virage à droite dans l'autre. Il n'y a pas de similitude directe qui transforme un virage à gauche en un virage à droite.
Si tu veux chercher une similitude directe, tu peux chercher une opération qui transforme AHC en ABH : ces 2 triangles sont avec des virages à gauche.. mais ça n'est toujours pas bon puisque le virage est à 90° dans un cas, et pas dans l'autre. AHC en BHA : dans les 2 cas , le virage est un virage à gauche, et un virage à angle droit ; l'affaire se présente mieux.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Bonjour Nicolas,
Là tu as décrit une application qui envoie le triangle ABC sur le triangle AHB, c'est bien ça les quatre étapes? -
@nicolas.patrois : c'est plutôt à la manière d'un élève de fin de cycle 4 (fin 4ème - 3ème).
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Ou d’un enfant qui découvre le logiciel de dessin de son traitement de textes.
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-- Schnoebelen, Philippe -
D'accord Nicolas, je vais traduire tout ça avec des nombres complexes ensuite, on verra si c'est juste.
Ps : personne ne m'a rien dit pour la similitude directe que j'ai trouvée hier soir. -
Peut-être plus malin, tu appliques l’algorithme pour la similitude réciproque (comme tu vas faire plein de trucs autour de l’origine).J’ai trouvé : si $a=0$ et $b=7$, alors $c=\frac{7\sqrt{3}}{3}$ et $h=7 \frac{1+\sqrt{3} i}{2}$.Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
-- Schnoebelen, Philippe -
Voilà Nicolas, j'ai traduis trois commandement sur quatre à l'aide des complexe, sauf la symétrie axial car je ne sais pas le faire. J'espère que je vais pouvoir trouver l'expression de la similitude.
Cordialement, Lorentz.
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Salut Nicolas, j'ai un doute pour la coordonnée du point h, en tout cas moi je ne trouve pas ça.
Cordialement, Lorentz.
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