Question sur les enchaînements logique par équivalence
![[Utilisateur supprimé]](https://w0.vanillicon.com/06e033c229d2c3b99cf35e0f43a173e8_100.png)
Bonjour
J'ai une question qui montre que je dois mal aborder quelque chose dans ma compréhension des raisonnements logiques, mathématiques.
Considérons une équation (E) à une inconnue x dont on sait qu'on a qu'une seule solution unique x0.
Maintenant, imaginons que je trouve un raisonnement logique qui amène à la proposition suivante : (x=x0 OU x=x1) avec x0 <> x1.
Est-ce qu'on peut conclure que dans mon raisonnement il y a eu un moment un enchaînement par simple implication ou alors est-ce possible que les enchaînements de mon raisonnement se fassent tout au long de celui-ci par équivalence ?
Et comment peut-on comprendre la chose sans ambiguïté.
Merci d'avance pour vos réponses.
Cordialement.
J'ai une question qui montre que je dois mal aborder quelque chose dans ma compréhension des raisonnements logiques, mathématiques.
Considérons une équation (E) à une inconnue x dont on sait qu'on a qu'une seule solution unique x0.
Maintenant, imaginons que je trouve un raisonnement logique qui amène à la proposition suivante : (x=x0 OU x=x1) avec x0 <> x1.
Est-ce qu'on peut conclure que dans mon raisonnement il y a eu un moment un enchaînement par simple implication ou alors est-ce possible que les enchaînements de mon raisonnement se fassent tout au long de celui-ci par équivalence ?
Et comment peut-on comprendre la chose sans ambiguïté.
Merci d'avance pour vos réponses.
Cordialement.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
En tous cas, le fait que l'équation ait une unique solution est certainement contradictoire avec le fait que tu en aies trouvé deux.
Donc, oui probablement, une fausse équivalence dans la résolution. (Ça arrive souvent quand on a $\sqrt{a} = b$ et qu'on déduit $a = b^2$. Il n'y a pas équivalence, car l'équation de départ implique $b \ge 0$, alors que la deuxième, non !)
Si tu veux, on peut généraliser ce principe de la manière suivante : si (P ou Q) implique R, alors P implique R et Q implique R.
Par exemple, quand tu voyages, imagine qu'on te donne la règle: "si tu voyages en Suisse ou en UE, tu n'as pas besoin de visa". Bah tu serais bien embêté si à la frontière Suisse on te demandait un visa ! Cette règle veut dire "Si tu voyages en UE, tu n'as pas besoin de visa", mais aussi "Si tu voyages en Suisse tu n'a pas besoin de visa"
Donc notre raisonnement n'aboutit pas à la proposition correcte "x=x0 ou x=x1" (qu'on ne peut pas écrire d'ailleurs, j'en conviens x € {x0 ,x1}).
Je te donne un exemple : mon équation est x - 3 = 0, et je veux la résoudre. Je ne connais pas beaucoup de techniques, donc je multiplie les deux côtés par (x-5), cela me donne que mon équation implique (x-3)(x-5) = 0. Et là j'applique mon cours pour en déduire x = 3 ou x = 5. Cette déduction est correcte ! On a bien que si x = 3, alors x= 3 ou x= 5. La déduction est correcte, mais comme ce ne sont que des implications, je ne peux pas en déduire que 3 et 5 sont des solutions, il faut alors les tester.
En général les exemples qu'on rencontre sont plus subtils: on fait une suite d'égalités qu'on réécrit etc., sauf qu'à certains passage on ne fait pas gaffe et notre réécriture n'est pas une équivalence.
2/ C'est triste, mais la tradition a voulu qu'on parle d'équivalence, mais ce sont des égalités de phrases : par exemple, pour tout nombre $x$: $$ (x^2 = 9) = ((x=3)\ ou\ (x=(-3))) $$Réécris ton papier avec ce langage et tu y verras peut-être plus clair dans ce que tu as peut-être loupé.
Ma question est pourquoi ne trouve-t-on pas comme seule solution 2.
Encore un autre exemple.
Il est possible que tu aies un problème avec le fait qu'une équation ait plusieurs solutions. Pourtant l'équation x=x en a beaucoup.
Sinon :
j'ai bien une démonstration. Mais est-ce la démo que 4 n'est pas solution, je ne l'ai jamais prétendu. La démo n'est pas de moi, elle est pas très difficile, c'est une démonstration par récurrence.
On pose
$A_n$ une tour de hauteur $n$, pour $n=3$ par exemple
$A_{3}=\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}}$
On veut démontrer par récurrence que pour tout $n,\ A_n < 2$.
Donc on a bien $A_1=\sqrt{2}\leq2$
Supposons $A_k<2$ montrons alors que $A_{k+1}<2$
Donc pour tout $n$, $A_n<2$. Fin de la récurrence.
Donc 4 ne peut être solution.
Mais peu importe (c'est pourquoi je ne l'ai pas donné c'est pas du tout par prétention), ce que je voudrais savoir c'est à quel moment dans le raisonnement je ne raisonne plus par équivalence puisque j'ai 2 solutions au lieu d'une.
Pour les 2 exemples donnés.
quand on raisonne, il est bien plus simple et moins dangereux de le faire avec des « donc ». Là, sur ton dernier texte, j’en lis quelques uns.
C'est moi qui me suis trompé dans la première équation je vais éditer, vraiment désolé pour cette erreur de typo.
Édit : c'est bon j'ai corrigé.
Le membre de droite est toujours « racine de … », non ?
Aussi, plus haut, je lis une coquille (même si ça revient au même) :
$\sqrt{2^4}=\sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{2} = 2*2=4$
$\sqrt{2^4}=\sqrt{2\times 2\times 2\times 2}=4$
Désole si ça pollue un peu ta véritable question, et surtout si je me trompe.
Donc la question qui se pose c'est est-ce possible et si oui quoi rajouter pour complémenter :
$x={\sqrt{2}}^x$
afin de faire un raisonnement par équivalence ?
Sachant qu'on part de $x=\sqrt{2}^{{\sqrt{2}^{{\sqrt{2}^{{\sqrt{2}^{{...}}}}}}}}$
Ton raisonnement par récurrence (je n’ai pas tout lu en détail mais je te crois) dit que c’est plus petit que $2$, et on a de la chance car ça permet de conclure.
De la même manière, si je cherche à avoir la ou les solutions de :
On doit ajouter la partie en gras pour "continuer" à raisonner par équivalence :
<=> (x-2)=(2-x)²et (2-x)>=0, x<=2 (car une racine carrée est toujours positive)
Comme on a raisonné par équivalence, on sait donc que 2 est (l'unique) solution.
un point fixe $x$ est attractif lorsque $|f’(x)|<1$.
La différence avec l'exemple que j'ai donné c'est que j'ai rajouté $(2-x) > 0$ pour une raison simple sans avoir à aller jusqu'au bout du calcul. Simplement car $2-x$ doit être égal à une racine carrée qui est forcément positive. On sait donc parfaitement pourquoi on rajoute la condition $(2-x) > 0$.
Autrement dit (svp bien lire ce passage), on sait trouver l'équation pour laquelle dans mon dernier exemple, 3 est une solution.
En effet quand j'ai écrit :
$\sqrt{x-2}=(2-x)$ en passant par $(\sqrt{x-2})^2=(2-x)^2$ je sais que je résous aussi $(\sqrt{x-2})^2=(x-2)^2$ puisque $(x-2)^2=(2-x)^2$ et donc que on trouve bien les solutions à :
$sqrt{x-2}=(x-2)$ et à $\sqrt{x-2}=(2-x)$
mais alors laquelle ?
Ou encore autrement dit, quelle autre tour l'équation $x={\sqrt{2}}^{\,x}$ peut-elle représenter et a eu pour conséquence de "générer" la solution 4 (en plus de 2 donc) ?
Je connais l’âge du voisin, je le note $x$.
Qui saura retrouver cet âge ?
Résolution :
je forme une équation : $x+6=x^2$.
savent pas le faire.
> On peut même trouver un exercice qui conduit à l’équation : $x=(\sqrt(2))^x$ mais où la seule solution est 4 et donc où 2 est à exclure.
Ok donc on est d'accord si cette équation de votre exercice permet de comprendre pourquoi quand on passe de la tour à l'équation donnée, on introduit potentiellement de "fausses" solutions. C'est ce que je demande effectivement.
$x=\sqrt{2}^{{\sqrt{2}^{{\sqrt{2}^{{\sqrt{2}^{{...}}}}}}}}$
à
$x=(\sqrt{2})^x$
Merci à tous,
Pourquoi ne pas accepter alors que $\sqrt{2}^{\,x}$ est inférieur à $2$ quand on prend au départ un nombre plus petit que $2$ ?
Ça peut correspondre au problème suivant
quel est le premier terme $u_0$ de la suite récurrente définie par, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$, avec $f=t\mapsto \sqrt{2}^{\, t}$, de sorte que cette suite soit constante et telle qu’il n’existe aucun autre premier terme qui ne donne comme limite $u_0$ ?
on a trois sortes de réels comme choix de départ.
- ceux dont la suite converge vers 2
- ceux dont la suite converge vers 4
- ceux dont la suite ne converge pas (ici, sauf erreur, ça tend vers l’infini quand ça ne converge pas)
exemple de choix de départ
$u_0=7$
4 renvoie la suite constante égale à 4
les nombres entre 0 et 2 renvoient des suites qui convergent vers 2
etc.
$u_0=7$
$u_1=f(u_0)=f(7)=\sqrt{2}^{\,7}$
Si
$u_0=\sqrt{2}$
$u_1=f(u_0)=f(\sqrt{2})=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$
Dans les 2 cas $u_0\neq u_1$
Pourquoi vous parlez de suite constante ?
Désolé pour cette question "naïve".
$f(4)=4$ puis $f(f(4))=4$…