Question sur les enchaînements logique par équivalence — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Question sur les enchaînements logique par équivalence

Modifié (December 2021) dans Fondements et Logique
Bonjour
J'ai une question qui montre que je dois mal aborder quelque chose dans ma compréhension des raisonnements logiques, mathématiques.
Considérons une équation (E) à une inconnue x dont on sait qu'on a qu'une seule solution unique x0.
Maintenant, imaginons que je trouve un raisonnement logique qui amène à la proposition suivante : (x=x0 OU x=x1) avec x0 <> x1.
Est-ce qu'on peut conclure que dans mon raisonnement il y a eu un moment un enchaînement par simple implication ou alors est-ce possible que les enchaînements de mon raisonnement se fassent tout au long de celui-ci par équivalence ?
Et comment peut-on comprendre la chose sans ambiguïté.
Merci d'avance pour vos réponses.
Cordialement.

Réponses

  • Si tu as vraiment procédé par équivalence et qu'il y a deux solutions à la fin, c'est que l'équation admet deux solutions.
  • Modifié (December 2021)
    Bonjour
    En tous cas, le fait que l'équation ait une unique solution est certainement contradictoire avec le fait que tu en aies trouvé deux.
    Donc, oui probablement, une fausse équivalence dans la résolution. (Ça arrive souvent quand on a $\sqrt{a} = b$ et qu'on déduit $a = b^2$. Il n'y a pas équivalence, car l'équation de départ implique $b \ge 0$, alors que la deuxième, non !)
  • Modifié (December 2021)
    Pourtant (x=x0 OU x=x1) ne donne pas 2 solutions, ça se contente de dire l'un ou l'autre. Donc on peut tout à fait considérer que l'implication dans l'autre sens fonctionne aussi. Ça "cloche" où ?
  • Si (x = x0 ou x= x1) implique f(x) = g(x) (ton équation E), alors en particulier f(x1) = g(x1). En effet, (x1 = x0 ou x1 = x1) est vraie (puisque x1 = x1 !) , de sorte qu'en appliquant l'hypothèse à x = x1, on obtient f(x1) = g(x1). 

    Si tu veux, on peut généraliser ce principe de la manière suivante : si (P ou Q) implique R, alors P implique R et Q implique R. 

    Par exemple, quand tu voyages, imagine qu'on te donne la règle:  "si tu voyages en Suisse ou en UE, tu n'as pas besoin de visa". Bah tu serais bien embêté si à la frontière Suisse on te demandait un visa ! Cette règle veut dire "Si tu voyages en UE, tu n'as pas besoin de visa", mais aussi "Si tu voyages en Suisse tu n'a pas besoin de visa"
  • Modifié (December 2021)
    Ha oui je comprends je n'avais pas pris les choses comme ça. Merci !
  • Modifié (December 2021)
    Mais alors comment écrire la relation logique entre une équation (E) et les "possibilités" trouvées grâce à un raisonnement (alors que (E) n'admet qu'une solution) ? Ne dit-on pas soit solution x0 soit solution x1 ? x0 ou x1 ?

    Donc notre raisonnement n'aboutit pas à la proposition correcte "x=x0 ou x=x1" (qu'on ne peut pas écrire d'ailleurs, j'en conviens x € {x0 ,x1}).
  • Comme on te l'a dit plus haut, c'est certainement que ton raisonnement n'était pas par équivalence mais par implications.  Si c'est juste une implication:  (f(x) = g(x) ) => (x= x0 ou x = x1) , c'est tout à fait possible que x1 ne soit pas une solution (ni d'ailleurs x0 !)

    Je te donne un exemple : mon équation est x - 3 = 0, et je veux la résoudre. Je ne connais pas beaucoup de techniques, donc je multiplie les deux côtés par (x-5), cela me donne que mon équation implique (x-3)(x-5) = 0. Et là j'applique mon cours pour en déduire x = 3 ou x  = 5. Cette déduction est correcte ! On a bien que si x = 3, alors x= 3 ou x= 5. La déduction est correcte, mais comme ce ne sont que des implications, je ne peux pas en déduire que 3 et 5 sont des solutions, il faut alors les tester. 
    En général les exemples qu'on rencontre sont plus subtils: on fait une suite d'égalités qu'on réécrit etc., sauf qu'à certains passage on ne fait pas gaffe et notre réécriture n'est pas une équivalence.  
  • Modifié (December 2021)
    1/ Pourquoi n'as-tu pas reproduit ce que tu appelles "ton raisonnement par équivalences"? Là, tu forces les gens à te répondre sans voir
    2/ C'est triste, mais la tradition a voulu qu'on parle d'équivalence, mais ce sont des égalités de phrases : par exemple, pour tout nombre $x$: $$  (x^2 = 9) = ((x=3)\   ou\   (x=(-3))) $$Réécris ton papier avec ce langage et tu y verras peut-être plus clair dans ce que tu as peut-être loupé. 
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Modifié (December 2021)
    Ok bon passons à plus concret.
    Je considère (E) : $x=\sqrt{2}^{{\sqrt{2}^{{\sqrt{2}^{{\sqrt{2}^{{...}}}}}}}}$.
    On remarque que $x={\sqrt{2}}^x$.
    Qui donne 2 solutions 4 et 2, en effet, 4 est solution puisque $\sqrt{2}^4=\sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{2} = 2*2=4$.
    Or on peut démontrer par ailleurs que la bonne solution  est 2 et non 4.
    Ma question est pourquoi ne trouve-t-on pas comme seule solution 2.

    Encore un autre exemple.
    Calculons : $3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{...}}}$.
    Posons : $x=3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{...}}}$.
    On a alors : $x=3-\frac{2}{x}$.
    $x\neq0$ donc
    $x^2=3x-2$
    $x^2-3x+2=0$
    $(x-1)(x-2)=0$.
    Donc 2 solutions "possibles" : x=1 et x=2
    Soit x=2 alors comme $x=3-\frac{2}{x}$ on a
    $3-\frac{2}{2}=2$
    Donc 2 semble être la solution, mais voyons pour x=1
    Soit x=1 alors comme $x=3-\frac{2}{x}$ on a
    $3-\frac{2}{1}=1$
    Ça marche aussi alors qu'elle est la solution ? x=1 ? ou x=2 ? ou les deux ? ou aucune ?
  • Modifié (December 2021)
    De mon téléphone : tu en postes long pour dire que 4 est solution mais qu'on peut prouver par ailleurs qu'il ne l'est pas mais tu ne donnes pas cette preuve que tu prétends exister (et qui pourtant à ce jour n'est pas connue, sinon ça aurait fait plus de bruit que l'élection de Trump).
    Il est possible que tu aies un problème avec le fait qu'une équation ait plusieurs solutions. Pourtant l'équation x=x en a beaucoup.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Par ailleurs ton "x= ... " n'est pas mathématiquement correct. Dans une équation, x est une vraie lettre. Peut être ton problème est-il là. 
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • TurboLanding, moi je remarque pour ton premier problème, que x est strictement supérieur à 0. Pourtant le nombre 7 ne convient pas.
  • Modifié (December 2021)
    Ce n'est pas parce que tu remarques que ton réel vérifie quelque chose, que tout ce qui vérifie ce quelque chose sera ton réel.
  • Modifié (December 2021)
    turboLanding a dit :
    Bonjour
    Est-ce qu'on peut conclure que dans mon raisonnement il y a eu un moment un enchaînement par simple implication ou alors est-ce possible que les enchaînements de mon raisonnement se fassent tout au long de celui-ci par équivalence ?
    Et comment peut-on comprendre la chose sans ambiguïté.
    Cordialement.
    Oui, ça peut arriver. Il suffit de faire attention au domaine de définition de l'équation avant de conclure.
    Par exemple.
    Soit $x\in \R_+$.
    Alors
    $(\sqrt x)^4 = 1\Leftrightarrow x^2=1 \Leftrightarrow x=1$ ou $x=-1$.
    Comme le domaine de définition de l'équation est $\R_+$, l'ensemble solution est $\{1\}$.
  • Modifié (December 2021)
    Ben le x c'est l'inconnue, et oui x est forcément positif puisque c'est un nombre positif élevé à une puissance. Mais ce n'est pas lié au problème que j'ai exposé.
    Sinon :
    j'ai bien une démonstration. Mais est-ce la démo que 4 n'est pas solution, je ne l'ai jamais prétendu. La démo n'est pas de moi, elle est pas très difficile, c'est une démonstration par récurrence.
    On pose
    $A_n$ une tour de hauteur $n$, pour $n=3$ par exemple :smile:
    $A_{3}=\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}}$
    On veut démontrer par récurrence que pour tout $n,\ A_n < 2$.
    Donc on a bien $A_1=\sqrt{2}\leq2$
    Supposons $A_k<2$ montrons alors que $A_{k+1}<2$
    $A_{k+1}=\sqrt{2}^{A_{k}}$ donc d'après notre hypothèse de récurrence : $A_k<2$ donc
    $A_{k+1} < \sqrt{2}^{2} < 2$
    Donc pour tout $n$, $A_n<2$. Fin de la récurrence.
    Donc 4 ne peut être solution.

    Mais peu importe (c'est pourquoi je ne l'ai pas donné c'est pas du tout par prétention), ce que je voudrais savoir c'est à quel moment dans le raisonnement je ne raisonne plus par équivalence puisque j'ai 2 solutions au lieu d'une.
    Pour les 2 exemples donnés.
  • DomDom
    Modifié (December 2021)
    Si ça n’a pas été dit : 
    quand on raisonne, il est bien plus simple et moins dangereux de le faire avec des « donc ». Là, sur ton dernier texte, j’en lis quelques uns. 
    Si, ne serait-ce qu’à un seul endroit tu passes d’une ligne à une autre avec un « donc », alors il n’y a plus d’équivalence.
    Enfin, une fois être arrivé, dans ce contexte, a quelques solutions, il suffit de les vérifier pour voir s’il y a équivalence entre « le début » et « la fin ». 
  • Lis, ce que j'ai écrit, tu poses x =truc et tu dis , truc vérifie machin, pourquoi il n'y aurait qu'un seul nombre qui vérifierait machin. D'emblée ça cloche, je ne vois pas pourquoi tu t'attends à avoir une unique solution. Il n'y aucune raison a priori.
  • Tu as écrit : $A_{k+1}=\sqrt{2}^{A_k}$.

    N’est-ce pas plutôt :  $A_{k+1}=\sqrt{2^{A_k}}$ ?
  • Modifié (December 2021)
    Non non c'est bien ça.
    C'est moi qui me suis trompé dans la première équation je vais éditer, vraiment désolé pour cette erreur de typo.
    Édit : c'est bon j'ai corrigé.
  • DomDom
    Modifié (December 2021)
    Ha… c’est accessoire par rapport à ta question mais sauf erreur (la veillée d’hier a été arrosée…), pour l’écriture de $A_3$ par exemple, dans ton message, je lis bien $\sqrt{truc}$. 
    Le membre de droite est toujours « racine de … », non ?

    Aussi, plus haut, je lis une coquille (même si ça revient au même) : 
    $\sqrt{2^4}=\sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{2} \sqrt{2} = 2*2=4$

    Ce devrait plutôt être :
    $\sqrt{2^4}=\sqrt{2\times 2\times 2\times 2}=4$
    Même si ce que tu a écrit est correct. 



    Désole si ça pollue un peu ta véritable question, et surtout si je me trompe. 
  • Modifié (December 2021)
    Oui oui, tu as raison merci, j'ai corrigé l'ensemble de mes messages, tout devrait être correct là.
  • Ok, en effet, tout est plus clair désormais. 
  • Modifié (December 2021)
    zeitnot a dit :
    Lis, ce que j'ai écrit, tu poses x =truc et tu dis , truc vérifie machin, pourquoi il n'y aurait qu'un seul nombre qui vérifierait machin. D'emblée ça cloche, je ne vois pas pourquoi tu t'attends à avoir une unique solution. Il n'y aucune raison a priori.
    Parceque je pensais raisonner par équivalence.
    Donc la question qui se pose c'est est-ce possible et si oui quoi rajouter pour complémenter :
    $x={\sqrt{2}}^x$
    afin de faire un raisonnement par équivalence ?
    Sachant qu'on part de $x=\sqrt{2}^{{\sqrt{2}^{{\sqrt{2}^{{\sqrt{2}^{{...}}}}}}}}$
  • DomDom
    Modifié (December 2021)
    C’est un cas général bien connu. 
    On construit une suite avec la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ et $u_0$ donné. La théorie dit que sous certaines conditions la suite converge et que c’est vers un point fixe de $f$ (c’est-à-dire un élément $u$ tel que $f(u)=u$). 
    La théorie dit encore sous certaines conditions que, selon le $u_0$ de départ, c’est vers tel ou tel point fixe que ça va converger. 
    On a aussi la notion de point fixe attractif et répulsif. 
    Dans ton cas : $u_0=2$ et $f=t\mapsto \sqrt{2}^{ \, t}$. 
    On démontre que la suite converge vers un point fixe de $f$, c’est-à-dire un $x$ tel que $x=\sqrt{2}^{\,x}$. 
    Il reste à savoir lequel !
    Ton raisonnement par récurrence (je n’ai pas tout lu en détail mais je te crois) dit que c’est plus petit que $2$, et on a de la chance car ça permet de conclure. 
    Je n’ai fait aucun calcul mais j’imagine qu’il suffit de démontrer que $2$ est le point fixe attractif. 
  • Modifié (December 2021)
    Ok mais je cherche quoi rajouter à $x={\sqrt{2}}^{\,x}$ pour avoir l'équivalence.
    De la même manière, si je cherche à avoir la ou les solutions de :
    $\sqrt{x-2}=(2-x)$
    On doit ajouter la partie en gras pour "continuer" à raisonner par équivalence :
    <=> (x-2)=(2-x)²et (2-x)>=0, x<=2 (car une racine carrée est toujours positive)
    d'où ça équivaut à x²-5x+6=0 et x<=2
    (x-3)(x-2)=0 et x<=2 
    équivaut à
    x=2 (car non (3<=2))
    Comme on a raisonné par équivalence, on sait donc que 2 est (l'unique) solution.
  • DomDom
    Modifié (December 2021)
    Si ce n’est que ça, tu peux ajouter « $x\leq 2$ ». 
    Remarque :  
    un point fixe $x$ est attractif lorsque $|f’(x)|<1$. 
    ici, ça donnerait $\ln (\sqrt{2})\times \sqrt{2}^{\, x}<1$, si toutefois mes calculs sont exacts. 
    Cela revient en gros à $x\leq 3$.
  • Modifié (December 2021)
    C'est trop facile, tu peux même rajouter "x=2" tant qu'on y est.
    La différence avec l'exemple que j'ai donné c'est que j'ai rajouté $(2-x) > 0$ pour une raison simple sans avoir à aller jusqu'au bout du calcul. Simplement car $2-x$ doit être égal à une racine carrée qui est forcément positive. On sait donc parfaitement pourquoi on rajoute la condition $(2-x) > 0$.
    Autrement dit (svp bien lire ce passage), on sait trouver l'équation pour laquelle dans mon dernier exemple, 3 est une solution.

    En effet quand j'ai écrit :
    $\sqrt{x-2}=(2-x)$ en passant par $(\sqrt{x-2})^2=(2-x)^2$ je sais que je résous aussi $(\sqrt{x-2})^2=(x-2)^2$ puisque $(x-2)^2=(2-x)^2$ et donc que on trouve bien les solutions à :
    $sqrt{x-2}=(x-2)$ et à $\sqrt{x-2}=(2-x)$

    Dans l'exemple de la tour de racines de 2, sait-on quelle formule, on a ajouté à la première et qui donne la solution 4 ?
    On sait que ce n'est pas la tour initiale
    $x=\sqrt{2}^{{\sqrt{2}^{{\sqrt{2}^{{\sqrt{2}^{{...}}}}}}}}$,
     mais alors laquelle ?

    Ou encore autrement dit, quelle autre tour l'équation $x={\sqrt{2}}^{\,x}$ peut-elle représenter et a eu pour conséquence de "générer" la solution 4 (en plus de 2 donc) ?
  • DomDom
    Modifié (December 2021)
    Étrange. 
    Je crois que tu te fourvoies. 
    J’ai d’abord joué la facilité puis j’ai ajouté un théorème (enfin, un résultat sans rappeler les conditions, avec les points fixes, etc.). 
    Les maths, ce n’est pas ça. 
    Ici, on arrive à une conclusion, et on doit se débrouiller avec. À nous de trancher, comme on le peut… parfois on ne peut pas d’ailleurs. 
    On a un énoncé, et tu as même une preuve que ça ne peut être que $2$, tu l’as fait par récurrence. 
    Du coup c’est ça « la » condition, si tant est qu’il en faudrait une. 

    Je tente un autre exemple primaire :
    Je connais l’âge du voisin, je le note $x$. 
    Quand j’ajoute 6, j’obtiens sont carré. 
    Qui saura retrouver cet âge ?
    Résolution : 
    je forme une équation : $x+6=x^2$. 
    j’en déduis que les solutions sont : $-2$ et $3$. 
    à moi de trancher, car, ça, les maths ne
    savent pas le faire. 

    Et je peux très bien trouver un exercice où l’équation est la même, mais où la solution est l’autre.
    On peut même trouver un exercice qui conduit à l’équation : $x=\sqrt{2}^{\, x}$ mais où la seule solution est $4$ et donc où $2$ est à exclure.
    C’est la difficulté des équations : parfois on ne connaît pas vraiment leur domaine, alors on les résout a priori sur un ensemble vaste, puis on regarde ce que l’on obtient. 
  • Modifié (December 2021)
    On aurait pu posé simplement que l'âge est positif, là c'est facile. Mais qui nous dit que dans l'exercice de la tour, c'est un problème de domaine de définitions et pas autre chose ? On n'en sait rien dans le fond (même si bien sûr on peut toujours trouver la bonne solution par des arguments d'appartenance de la solution à un ensemble donné), donc c'est moins anodin qu'on pourrait le croire, le dîtes (pour moi), et donc particulièrement mathématiquement insatisfaisant.

    > On peut même trouver un exercice qui conduit à l’équation : $x=(\sqrt(2))^x$ mais où la seule solution est 4 et donc où 2 est à exclure.

    Ok donc on est d'accord si cette équation de votre exercice permet de comprendre pourquoi quand on passe de la tour à l'équation donnée, on introduit potentiellement de "fausses" solutions. C'est ce que je demande effectivement.

  • Et que penses-tu de ma réponse du coup ?
    Sinon, ton problème n'est pas une résolution d'équation mais plutôt la preuve de la convergence d'une suite et le calcul de la limite.
    Il se trouve que cette limite est solution d'une certaine équation mais le coeur de ton problème n'est pas la résolution de l'équation en fait.
  • Modifié (December 2021)
    J'ai vu et j'ai répondu aussi à çà dans mon dernier message et même avant. On pourra trouver des arguments d'appartenance de la solution à l'équation, il n'empêche que je ne sais toujours pas, alors que je pense que ça doit être possible, comme dans les exercices plus basiques, de trouver une équation qui découlerait de la tour initiale et qui permettrait d'avoir comme solution 4. Ainsi on mettrait en évidence, "ce qui ne va pas" quand on passe de :
    $x=\sqrt{2}^{{\sqrt{2}^{{\sqrt{2}^{{\sqrt{2}^{{...}}}}}}}}$
    à

    $x=(\sqrt{2})^x$
  • Mais merci vos réponses me sont quand même d'une grande aide. Je vais réfléchir à résoudre mon problème seul, mais si vous êtes d'accord avec ma "démarche" vous pouvez aussi partager.
  • Mais merci vos réponses me sont quand même d'une grande aide. Je vais réfléchir à résoudre mon problème seul, mais si vous êtes d'accord avec ma "démarche" vous pouvez aussi partager.
  • En gros, tu passes de $x=...$ à $f(x)=...$ avec une fonction $f$ non injective a priori, ce qui t'empêche de faire le retour en arrière.
    C'est comme si tu passais de $\theta=0$ à $\cos\theta=1$ puis à $\theta=2k\pi$ pour un certain $k\in\Z$.
  • Modifié (December 2021)
    Ok (mais je reste sur mon idée).

    Merci à tous,
  • DomDom
    Modifié (December 2021)
    Tu acceptes de dire « une racine carrée est positive ». 
    Bien entendu quand on a au départ un nombre réel positif.

    Pourquoi ne pas accepter alors que $\sqrt{2}^{\,x}$ est inférieur à $2$ quand on prend au départ un nombre plus petit que $2$ ?
  • Je l'ai déjà dit, parceque ca ne m'explique pas pourquoi à partir de la tour quand on passe par $x=(\sqrt{2})^x$ on trouve une autre solution. Autrement dit je pense qu'il y a un objet mathématique une tour ou autre chose qui se modélise aussi par $x=(\sqrt{2})^x$ et qui a bien pour (unique ou pas) solution 4.
  • Modifié (December 2021)
    Oui, la tour $x=4^{1^{1^{1^{1...}}}}$ est une telle tour qui vérifie $x=(\sqrt 2)^x$.
    En effet, je peux écrire $x=\sqrt{2}^{4^{1^{1^{1....}}}} = \sqrt{2}^x$.
  • Modifié (December 2021)
    Heuuu non, de plus, ce n'est pas une tour (la base n'est pas la même que les exposants).
  • Modifié (December 2021)
    Mais comme je l'ai dit, merci j'ai juste conclu que c'est très difficile de mettre la solution 4 en évidence à partir de la tour de départ pour expliquer ce qui ne va pas dans ce passage de la tour à $x=(\sqrt{2})^x$.
  • turboLanding a dit :
    . Ainsi on mettrait en évidence, "ce qui ne va pas" quand on passe de :
    $x=\sqrt{2}^{{\sqrt{2}^{{\sqrt{2}^{{\sqrt{2}^{{...}}}}}}}}$
    à
    $x=(\sqrt{2})^x$
    Bonjour,
    je suis sans doute à côté de la plaque mais pour passer du premier point au second, il faut supposer qu'un tel $x$ existe non ?
    Cordialement,
    Mister Da

  • Oui tout à fait exact !
  • Oui !
    Ça peut correspondre au problème suivant :smile:

    quel est le premier terme $u_0$ de la suite récurrente définie par, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=f(u_n)$, avec $f=t\mapsto \sqrt{2}^{\, t}$, de sorte que cette suite soit constante et telle qu’il n’existe aucun autre premier terme qui ne donne comme limite $u_0$ ?
  • Ok et dans ma tour, à n'importe quelle profondeur, elle vaut la constante 2 d'après ce que tu dis, je vais vérifier çà.
  • Pour être sûr que les choses sont claires : 

    on a trois sortes de réels comme choix de départ. 
    - ceux dont la suite converge vers 2
    - ceux dont la suite converge vers 4 
    - ceux dont la suite ne converge pas (ici, sauf erreur, ça tend vers l’infini quand ça ne converge pas)

    exemple de choix de départ 
    $u_0=7$
    Alors on regarde « la tour » : $\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{… 7}}$
  • 2 renvoie la suite constante égale à 2
    4 renvoie la suite constante égale à 4
    les nombres entre 0 et 2 renvoient des suites qui convergent vers 2
    etc.
  • Modifié (December 2021)
     [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    Je ne pense pas avoir compris si
    $u_0=7$
    $u_1=f(u_0)=f(7)=\sqrt{2}^{\,7}$
    Si
    $u_0=\sqrt{2}$
    $u_1=f(u_0)=f(\sqrt{2})=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$
    Dans les 2 cas $u_0\neq u_1$
    Pourquoi vous parlez de suite constante ?
    Désolé pour cette question "naïve".
  • DomDom
    Modifié (December 2021)
    C’est pour $u_0=2$ ou pour $u_0=4$. 
    $f(2)=2$ puis $f(f(2))=2$…
    $f(4)=4$ puis $f(f(4))=4$…
  • Modifié (29 May)
    Même si c'est encore un peu obscur pour moi, voici une série de vidéos qui traite peut-être entièrement (en tout cas plus qu'une rapide approche) du sujet notamment avec l'utilisation du critère de convergence du point fixe.


Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!