Inégalité EDP
Bonjour, je bloque sur la question suivante.
Soit $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ un domaine régulier borné. Soit $T>0$. Soit $u_0 \in L^2$.
Soit $b \in L^{\infty}(]0,T[ \times \Omega)^N$, soit $c \in L^{\infty}(]0,T[ \times \Omega)$.
On pose l'équation dans $]0,T[ \times \Omega$
$\partial_{t} u+b \cdot \nabla u+c u-\Delta u=0$ (le point est un produit scalaire)
$u|_{\partial \Omega} =0$
$u|_{t=0}=u_0$
Montrer que si $u \in C^1([0,T],C^2(\Omega)) $ est une solution de l'équation alors on a :
$\frac{d}{d t}\|u(t)\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\int_{\Omega}|\nabla u(t, x)|^{2} d x \leq\left(2\|c\|_{\infty}+\|b\|_{\infty}\right)\|u(t)\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}$.
J'ai essayé de multiplier l'équation par $u$ et de faire des ipp en espace mais je n'arrive pas à obtenir le terme avec $||b||$ à droite.
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Réponses
En utilisant l'inégalité $xy\leqslant \frac{x^2+y^2}2$ sur l'intégrale avec $b\cdot\nabla u$, on peut avoir $$\frac{d}{d t}\|u(t)\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\int_{\Omega}|\nabla u(t, x)|^{2} d x \leq\left(2\|c\|_{\infty}+\|b\|_{\infty}^{\color{red}2}\right)\|u(t)\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}$$ qui se rapproche de ce que tu demandes. Du coup n'y aurait-il pas un carré sur $\|b\|_{\infty}$ dans l'énoncé, et que tu aurais oublié, par hasard ?
Normalement on a
$$\frac 12 \frac{d}{d t}\|u(t)\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\int_{\Omega}|\nabla u(t, x)|^{2} d x \leq\|c\|_{\infty}\|u(t)\|_{L^{2}(\Omega)}^{2}+|\int_{\Omega} (b \cdot \nabla u)u |$$
tu fais comment pour gérer $\int_{\Omega} (b \cdot \nabla u)u $
pour avoir uniquement ce terme en gradient dans ta formule ---->$ \int_{\Omega}|\nabla u(t, x)|^{2} d x$
Je n'ai pas encore chercher les questions suivantes mais je vous les poste quand même si ça peut donner plus de contexte et\ou repérer si c'est une coquille ou pas .
question b) montrer que
$||u||_{L^{\infty}([0,T],L^2(\Omega))}^2 + \int_{0}^{T} ||\nabla u||_{L^2(\Omega)} dt \leq ||u_0||_{L^2(\Omega)}^2 e^{CT}$
où $C=2||c||_{\infty}+ ||b||_{\infty}$ (lemme de Grönwall ?)
question c) en déduire que
$|| \partial _t u ||_{L^2([0,T],H^{-1}(\Omega))} \leq ( ||b||_{\infty} + ||c||_{\infty} \sqrt{T+1})$ $ ||u_0||_{L^2(\Omega)}e^{CT/2}$
À vrai dire je ne sais pas (je n 'ai pas réfléchi) si le lemme de Grönwall peut servir la question b.
Si tu trouves la c, tu postes.
En revanche, je ne suis pas d'accord avec le passage au sup à la fin du message de @Barjovrille. Rien ne dit que $\sup\limits_{t\in[0,T]} \|u(t)\|_{L^2(\Omega)}^2 +\sup\limits_{t\in[0,T]}\int_{0}^{t} \|\nabla u(s)\|_{L^2({\Omega})}^2 ds\leqslant \sup\limits_{t\in[0,T]} \left(\|u(t)\|_{L^2(\Omega)}^2 +\int_{0}^{t} \|\nabla u(s)\|_{L^2({\Omega})}^2 ds\right) $. Mais je ne vois pas comment conclure alors.
soit $t \in [0,T]$
Soit $v \in H^1_0(\Omega)$ on fait taper l'équation contre $v$ et on a l'inégalité suivante :
$|\int_{\Omega} \partial _t u(t,x)v(x) dx | \leq \int_{\Omega} |b(t,x). \nabla u(t,x) v(x) | + |c(t,x)u(t,x)v(x)| + |\nabla u(t,x) . \nabla v(x)| dx$
Après Cauchy Schwarz et majoration par la norme infinie on a :
$\leq ||b||_{\infty} ||\nabla u(t) ||_{L^2(\Omega)} ||v||_{L^2(\Omega)} +||c||_{\infty} ||u(t)||_{L^2(\Omega)} ||v||_{L^2(\Omega)} + ||\nabla u(t) ||_{L^2(\Omega)}||\nabla v ||_{L^2(\Omega)}$
la norme $L^2$ de $v$ et de $\nabla v$ est majoré par la norme $H^1_0$ de $v$ on a donc
$|\int_{\Omega} \partial _t u(t,x)v(x) dx| \leq (||b||_{\infty}||\nabla u(t) ||_{L^2(\Omega)} + ||c||_{\infty} ||u(t)||_{L^2(\Omega)} + ||\nabla u(t) ||_{L^2(\Omega)}||)||v||_{H^1_0(\Omega)}$
on divise l'inégalité par $||v||_{H^1_0(\Omega)}$ et on passe au sup pour faire apparaître la norme d'opérateur ($H^{-1}$ dual de $H^1_0(\Omega)$)
et on a
$|| \partial _t u(t) ||_{H^{-1}} \leq ||b||_{\infty}||\nabla u(t) ||_{L^2(\Omega)} + ||c||_{\infty} ||u(t)||_{L^2(\Omega)} + ||\nabla u(t) ||_{L^2(\Omega)}$
donc
$|| \partial _t u(t) ||_{H^{-1}}^2 \leq ((||b||_{\infty}+1)||\nabla u(t) ||_{L^2(\Omega)} + ||c||_{\infty} ||u(t)||_{L^2(\Omega)})^2 $
$(a+b)^2 \leq 2a^2 + 2b^2$ donc
$|| \partial _t u(t) ||_{H^{-1}}^2 \leq 2(||b||_{\infty}+1)^2||\nabla u(t) ||_{L^2(\Omega)}^2 + 2||c||_{\infty}^2 ||u(t)||_{L^2(\Omega)}^2$
on intègre en temps
$|| \partial _t u ||_{L^2[0,T],H^{-1}}^2\leq 2(||b||_{\infty}+1)^2 \int_0^{T}||\nabla u(t) ||_{L^2(\Omega)}^2 dt + 2||c||_{\infty}^2 \int_0^{T} ||u(t)||_{L^2(\Omega)}^2dt$
donc
$|| \partial _t u ||_{L^2[0,T],H^{-1}}^2\leq 4(||b||_{\infty}+1)^2 \int_0^{T}||\nabla u(t) ||_{L^2(\Omega)}^2 dt + 4T||c||_{\infty}^2||u||^2_{L^{\infty}([0,T],L^2(\Omega)}$
on utilise la question b) (pour majorer $||\nabla u ||$ et $||u||$ ) et on passe a la racine
$|| \partial _t u ||_{L^2[0,T],H^{-1}}\leq \sqrt{ 4(||b||_{\infty}+1)^2 +4T||c||_{\infty}^2} ||u_0||_{L^2}e^{CT/2}$
ça ressemble à ce qui est demandé mais je n'ai pas la bonne constante multiplicative j'ai peut être majoré trop brutalement à une étape.
le but de l'exercice était d'établir une estimation à priori sur les solutions de l'équation donc je ne sais pas si c'est très important d'avoir la bonne constante multiplicative ?
Juste, je ne vois pas pourquoi tu mets un facteur 4 à la ligne $|| \partial _t u ||_{L^2[0,T],H^{-1}}^2\leq 4(||b||_{\infty}+1)^2 \int_0^{T}||\nabla u(t) ||_{L^2(\Omega)}^2 dt + 4T||c||_{\infty}^2||u||^2_{L^{\infty}([0,T],L^2(\Omega)}$ et pas juste 2. À part ça, je ne vois pas de façon de mieux majorer.