Sous-monoïdes

Nemya · May 2022

Bonjour

Je sèche sur cette questions depuis des jours est-ce que quelqu'un peut me donner des indices ? (La partie des éléments minimaux en questions on a prouvé qu'elle existe dans les questions précédentes)

Image: https://les-mathematiques.net/vanilla/uploads/editor/j3/ot6hu3ildpcc.png

Bien Cordialement.

[Utilisateur supprimé] · May 2022

ça pourrait être une bonne idée de donner la définition de l'ordre produit, et aussi de donner les questions précédentes (au fait, donne le sujet en entier).

Cordialement

Heuristique · May 2022

L'ordre produit sur $\mathbb{N}^n$ est le suivant : soient $x,y \in \mathbb{N}^n$. On dit alors que $x \leqslant y$ ssi $\forall i \in [[1,n]], x_i \leqslant y_i$.

J'imagine que tu as fait plus que prouver que l'ensemble des éléments minimaux existait (car c'est toujours vrai) : tu n'aurais pas montré, en plus, que tout élément est supérieur à un élément minimal ?

Quels seraient selon toi les bons candidats pour engendrer $M$ ?

Nemya · May 2022

Merci pour vos réponses.Pour l'ensemble des éléments minimaux en effet je voulais dire qu'il existe et est fini.En ce qui concerne les bons candidats je pense partir avec l'indication donnée par le sujet, si on a les vecteurs unitaires dans cet ensemble je pense c'est bon après ce n'est pas toujours le cas.

[Utilisateur supprimé] · May 2022

L'ensemble des éléments minimaux existe par le schéma d'axiomes de compréhension. C'est plus intéressant de montrer qu'il n'est pas vide (et c'est le cas car la version stricte de la relation "ordre-produit" est un bien-fondé)

2nd paragraph

Édit. Je n'ai pas utilisé la bonne relation pour mon second paragraphe, donc l'énoncé que j'expose au second paragraphe qui est mentionné dans le commentaire juste en bas était erroné. J'ai donc effacé.

GaBuZoMeu · May 2022

Igbinoba a dit :
$\{ 0\} \times \mathbb N ^{^{n-1}}$ est un sous-monoïde infini dont chaque élément est minimal (donc l'ensemble des éléments minimaux n'est pas fini pour ce sous-monoïde)

C'est faux. Les $n-1$ éléments minimaux pour l'ordre produit (quand on a enlevé l'élément neutre) sont $(0,1,0,\ldots,0)$, $(0,0,1,0,\ldots,0)$, ..., $(0,\ldots,0,1)$, et ils engendrent bien $\{ 0\} \times \mathbb N ^{n-1}$.

[Utilisateur supprimé] · May 2022

@GaBuZoMeu
Je voyais l'ordre produit comme la clôture réflexive de $xRy\iff \forall i<n,x_i<y_i$.

La définition que j'ai pour minimal: avoir un segment initial vide.
La relation ordre-produit étant réflexive et donc n'ayant pas d'éléments minimaux (chaque élément appartenant à son segment initial), j'ai pensé qu'on travaillait avec la relation que j'ai donnée plus haut pour définir les éléments minimaux.
Si je comprends bien, tu penses qu'il faut plutôt travailler avec l'ordre-produit privé de la diagonale ?
Édit. Je suis allé voir la littérature, et il semble que certains auteurs distinguent "week initial segment" et "stricte initial segment"...bref, par segment initial de $A$ par $R$, j'entends la classe des éléments $B$ tels que $BRA$

GaBuZoMeu · May 2022

Heuristique a rappelé la définition d'ordre produit. Tu as zappé ?

[Utilisateur supprimé] · May 2022

Non, non, j'ai fait une bêtise. J'ai modifié la définition pour avoir quelque chose d'anti-reflexif.
D'ailleurs la relation ordre-produit n'est pas la clôture réflexive de la relation que j'ai donnée. En gros, il faut travailler avec l'ordre produit privé de la diagonale (la restriction anti-reflexive de l'ordre produit) pour parler des minimaux, je pensais naturellement à l'autre relation.

GaBuZoMeu · May 2022

Pourquoi te faut-il toujours compliquer les choses simples ?

[Utilisateur supprimé] · May 2022

(tout est une histoire de point de vue et de communication, la communication n'a rien d'évident)

Si on prend $n=2$, alors regardons le sous-monoïde $V$ engendré par $\{ (1;1);(3;1) \} $,
Il n'y a qu'un élément minimal dans $V$ privé de $\{ (0;0) \} $, c'est $(1;1)$ et pourtant, $\{ (1;1)\} $ n'engendre pas $V$ puisque $(3;1)$ n'est pas dans le sous-monoïde engendré par $\{ (1;1) \} $

GaBuZoMeu · May 2022

Tu aurais pu commencer avec $n=1$ et $M=2\mathbb N+3\mathbb N$.

Sous-monoïdes

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 38