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Intégrale (AMM 12332)

Modifié (16 May) dans Analyse
J'espère qu'Etanche ne l'a pas déjà postée.
Montrer que $\displaystyle \int_0^\infty \frac{\tanh^2 x}{x^2}dx=\frac{14\zeta(3)}{\pi^2}$
$\zeta(3)$ est la constante d'Apéry.
NB: si vous avez suivi l'actualité des intégrales sur le forum vous devriez avoir une petite idée de ce qu'il faut faire.

Réponses

  • Ce n'est pas Etanche qui l'a déjà postée mais Fin de partie dans Intégrale(s) de printemps 2022.

    En fait l'intégrale n'apparait qu'à la sixième réponse.
  • Ici de nombreuses démonstrations.

    https://math.stackexchange.com/questions/1582943/integral-int-0-infty-frac-tanh2xx2dx?noredirect=1

    On peut aussi chercher une nouvelle preuve.
  • Modifié (16 May)
    @Jandri: Si j'ai bien lu, ce n'est pas moi qui ai mis sous cette forme l'intégrale discutée dans le fil que tu mentionnes (fil auquel je faisais allusion dans mon nota bene ci-dessus).
    C'est étonnant que l'AMM ait publié cette intégrale qui est une proche cousine de l'intégrale qui figure dans le problème $12317$:
    Montrer que $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(4x)}{\ln(\tan x)}dx=-\frac{\zeta(3)}{\pi^2 }$
    En même temps, la solution de ce problème n'a pas encore été publiée.
  • Cette intégrale est sur math.stackexchange depuis 2016 
  • Fin de partie : 
    je suis d'accord, ce n'est pas toi qui l'a proposée mais jmf qui a ramené l'intégrale que tu proposais à celle-ci.

    J'avais cherché sans succès à calculer l'intégrale AMM 12332 il y a bien longtemps (j'avais lu sur internet que wolfram savait la calculer).
  • Modifié (16 May)
    @Jandri: J'avais beau savoir que cette intégrale avait un rapport avec l'autre que j'avais déjà calculée mais, sans aucun document sous la main, sans ordinateur et sans internet, il m'a fallu un certain temps pour me rappeler comment calculer cette intégrale.
    Je m'en suis rappelé quand j'ai vu ce motif : $\displaystyle \frac{1-x}{\ln x}$ après, tout s'enchaîne harmonieusement pour ainsi dire.
    Mais ce n'était pas ma première idée.
    Il me semble qu'on peut montrer que si pour tout $0\leq y\leq 1$ on a :
    $\displaystyle F(y)=\int_0^\infty \frac{\tanh^2 (xy)}{x^2}dx$,
    alors
    $F^{\prime\prime}(y)=0$.
  • C'est normal que $F^{\prime\prime}(y)=0$ puisque si on pose $t=xy$ dans l'intégrale qui définit $F(y)$ on obtient pour $y>0$ :
    $F(y)=Cy$ avec $C=\displaystyle\int_0^\infty \frac{\tanh^2 (t)}{t^2}dt$.
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