Loi normale et fonction erf
Bonjour,
Je suis physicien et viens poser ici un problème 'réel' sur lequel l'aspect mathématique me fait défaut.
Concrètement, j'ai appliqué à un système un bruit blanc gaussien au cours du temps, et cherche la probabilité au cours d'une période donnée T que l'amplitude du bruit ait dépassé à au moins un instant une valeur seuil X.
J'ai mesuré la probabilité que le seuil X soit dépassé pendant la période T fixée et obtenu expérimentalement la courbe suivante :
Comme vous pouvez le remarquer, j'ai tracé la probabilité de passer le seuil en fonction de l'amplitude du bruit gaussien (notation donnée par le générateur basse fréquences utilisé). Cette 'amplitude' du bruit est en pratique censée être proportionnelle à l'écart-type de la distribution.
Pour résumer, lorsque j'augmente l'écart-type d'une distribution de bruit, on observe expérimentalement qu'il y a plus de chance que durant une durée T fixée au moins une valeur piochée dépasse la valeur seuil X, c'est en effet intuitif.
Les points expérimentaux sont en bleu, en rouge j'ai réalisé un ajustement par une fonction (1+erf(a*amplitude + b))/2 ce qui me semblait être intuitivement le modèle adéquat.
Ma question désormais est la suivante : ce modèle est-il vraiment adéquat, et pourquoi?
J'ai le sentiment que si on discrétise les tirages aléatoires en supposant que l'on réalise N>>1 tirages durant un temps T la probabilité de succès d'au moins un tirage au dessus de la valeur seuil X devait suivre une loi normale, soit par théorème central limite, soit par théorème de Moivre-Laplace. Et c'est là que je suis bloqué. Réussir à donner un sens à ce modèle permettrait alors de comparer et donner un sens physique aux paramètres d'ajustement a et b.
PS : pour ceux que le contexte intéresse, ces résultats montrent que pour certains systèmes, on a parfois intérêt à augmenter le bruit ajouté au signal afin de transmettre un maximum d'information. On parle alors de résonance stochastique, cela modélise entre autres les communications entre neurones.Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Apparemment, vous avez moins de 20 mesures pour tracer votre graphe.
Connaissez-vous le test de normalité de Shapiro-Wilk ?
Vous pouvez utiliser le test en ligne (une donnée par ligne dans le cadre) :
http://www.sthda.com/french/rsthda/shapiro-wilk.php
Qu'obtenez-vous pour p-value ?
Avec le test de normalité, je ne faisais que rebondir sur cette phrase :
<< J'ai le sentiment que si on discrétise les tirages aléatoires en supposant que l'on réalise N>>1 tirages durant un temps T la probabilité de succès d'au moins un tirage au dessus de la valeur seuil X devait suivre une loi normale, >>
car elle montrait une certaine incertitude avec le mot "devrait". Le test de normalité permet de se rassurer sur cela, puisque ici, il y a un contexte de probabilité, comme vous dites.
En ce qui concerne la validité de votre modèle, ce n'est plus le même souci. Je ne peux pas juger de votre résultat. Evidemment, à vue d'oeil, ça colle pas trop mal. Mais attention, avec deux paramètres, on peut souvent faire coller (plus ou moins bien) un type de courbe (qui plus est choisi a posteriori !) à un nuage de points expérimental.
Bonsoir, c'est complètement fou, écrire ce script est justement l'idée que je venais d'avoir sous la douche !
L'interprétation simpliste que vous formulez très proprement correspond exactement au modèle que j'avais en tête.
Il y a deux jours, j'avais développé l'expression de la probabilité que vous donnez pour erf( ) petit devant 1 comme un idiot en pensant simplifier le problème, je me retrouvais alors avec une probabilité qui n'était plus comprise entre 0 et 1...
Physiquement cette expression est très riche car N est proportionnel à la période du signal envoyé en entrée, et expérimentalement il est également possible de faire varier xseuil continument.
Je tiens à vous remercier du fond du cœur pour avoir pris le temps d'apporter ces éléments de réponse au problème posé. De mon côté, je vais tâcher dès que j'en ai l'occasion de tester la robustesse de ce modèle en cherchant à vérifier expérimentalement les comportements prévus pour la probabilité p(sigma) en fonction de N et xseuil. Bien sûr, je vous partagerai les résultats obtenus .