Construction des foyers d'une conique
Bonjour,
comment construire les foyers d'une conique définie par cinq points ?
Merci de m'éclairer
Cordialement
Louis Le Goff
comment construire les foyers d'une conique définie par cinq points ?
Merci de m'éclairer
Cordialement
Louis Le Goff
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Réponses
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il est en principe plus simple de construire les foyers d'une conique tangentielle en vertu du théorème suivant:
Dans le plan euclidien, on se donne deux droites $L$ et $L'$ et une homographie $f: L \longmapsto L'; m \mapsto m'$
Soit $\Gamma$ la conique enveloppe des droites $mm'$.
L'application $f$ se prolonge de façon unique en une transformation circulaire directe $g$ dont les points fixes sont les deux foyers de $\Gamma$.
Ce théorème conduit effectivement à une construction des foyers à la règle et au compas.
Amicalement
Pappus
Amicalement
Louis Le Goff
Autrement dit, étant donnés 3 points $A$, $B$, $C$ et 3 autres points $A'$, $B'$, $C'$, comment construire les deux points fixes de l'application circulaire directe $f$ telle que $f(A) = A'$, $f(B) = B'$, $f(C) = C'$.
Comme le dirait Michel Coste, c'est exactement un problème du second degré dans le champ complexe.
Amicalement
Pappus
D'abord Théorème de Pascal autant de fois qu'il le faut pour construire des cordes parallèles, puis par les milieux constructions de 2 couples de diamètres conjugués, desquels on déduit les axes de l'ellipse. Puis construire deux couples de points conjugués sur chaque axe (utiliser en particulier centre et point à l'infini) pour déterminer les intersections des axes avec l'ellipse. Et enfin simplement les deux foyers.
Entendu Pappus j'en profite pour creuser les bouts manquants de géométrie circulaire et d'homographie. Merci à toi et à Michel Coste.
Amicalement
Louis LeGoff
Une fois le centre de la conique obtenu, on trace un cercle dont le centre est le centre de la conique et passant par un point de la conique.
L'intersection de ce cercle avec la conique fournit un rectangle dont les axes sont justement ceux de la conique, etc...
Amicalement
Pappus
Amicalement
Louis Le Goff
Par contre peu d'étudiants savent construire à la règle et au compas les deux tangentes issues d'un point à une conique et en déduire les deux théorèmes de Poncelet concernant ces tangentes!
Amicalement
Pappus
Comment est définie la conique ?
Si je fais l'hypothèse, pour rester sur la même idée, qu'elle est définie par cinq points, je crois savoir, bien que la méthode soit un peu "poussive", construire les deux tangentes issues d'un point extérieur M.
-construire la polaire de M en partant de 2 sécantes issues de M et des conjugués harmoniques de M
-puis avec 2 couples de 2 sécantes, issus chacun de 2 points différents de la polaire il est possible de construire les points d'intersection de la polaire avec la conique.
mais, de là à en déduire les théorèmes de Poncelet ? Aide bienvenue !
Amicalement
Louis Le Goff
Autrement dit comment construire à la règle et au compas les tangentes à une conique définie par ses deux foyers et un cercle directeur.
Ils concernent donc en premier lieu les ellipses et les hyperboles.
Néanmoins, la parabole n'échappe pas à ces deux théorèmes sans doute en vertu de mon principe, pouvait dire Victor!
Amicalement
Pappus
Même si sur le papier, je ne suis plus étudiante cette année, je me considère faisant partie des étudiants ne sachant pas... ; puisque, malheureusement, je n'ai, pour ainsi dire, pas fait de géométrie pendant mes études.
Peut-être que Pappus m'offrira une petite explication pour la construction des deux tangentes avec de beaux dessins !
Amicalement,
Clairon.
Pour voir diverses constructions animées (applets Java) concernant les coniques, on peut parmi d'autres aller consulter mon site à l'adresse coniques
On y trouve une construction animée pas à pas des foyers etc. d'une conique définie par 5 points,
la construction des tangentes issues d'un point donné à une conique définie par foyer et cercle directeur etc...
Généralement les démonstrations sont données, ou tout au moins suggérées.
Amicalement.
pappus
Si tu veux avoir le point de contact d’une tangente $T$ avec une conique de foyers $F$ et $F’$, fais intervenir les symétriques $P$ et $P’$ de ces foyers par rapport à $T$ et en principe les droites $FP’$ et $F’P$ devraient se couper au point de contact désiré.
Amicalement
pappus
En effet, ces foyers sont alors les points fixes de l'homographie $f_A:BC'A\mapsto CAB'$ avec tes notations.
C’est insuffisant!
Par exemple sur ma figure, tu peux te donner arbitrairement le point $a$ sur le segment $AB$, alors on a plus le choix non seulement pour le point $c$ évidemment symétrique de $a$ par rapport au centre du parallélogramme $ABCD$ mais aussi pour les points $b$ et $d$.
Amicalement
pappus