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Est-il possible de généraliser ?

Modifié (9 May) dans Géométrie

Bonjour

J'arrive à démontrer pour certaines valeurs cette relation. À mon avis, cela doit être déjà connu.

Par contre je me demande s'il ne serait pas possible de généraliser, ou cette construction est possible quelles que soient les valeurs des carrés a,b,c.
Désolé si ma demande est stupide je ne suis pas très doué en géométrie.
Cordialement remy

Réponses

  • DomDom
    Modifié (9 May)
    Bonjour
    Je ne comprends pas quelle est la question. 
    La figure semble présenter des aires mais aussi des longueurs.
    J’imagine que le tout est un carré et qu’à l’intérieur on a des rectangles et des petits carrés. 
    $r_3$ serait la largeur noire du rectangle médian ?
    Cordialement 
    Dom.
  •  :) 
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    Citation en cours
  • On part d'un carré $a \times a$.
    On isole 2 carrés $b \times b$ et $c \times c$ aux 2 coins opposés
    On 'prolonge' ces 2 carrés, ce qui donne les rectangles $r_1$ et $r_2$.
    Et il reste la bande centrale $r_3$.
    Sur le dessin, la surface de la bande centrale semble égale à $r_1+r_2$

    Est-ce un résultat généralisable ?
    Evidemment non. 
    Partant de la situation du dessin,  on suppose que sur ce dessin, on a bien l'égalité $r_3=r_1+r_2$, si on diminue $c$,  $r_1$ diminue et $r_3$ augmente, on n'a plus l'égalité.  

    Pour $a$ et $b$ donnés, il y a a priori une seule valeur (voire aucune) de $c$ qui permet d'avoir $r_3=r_1+r_2$
  • Modifié (9 May)
    Merci pour le retour
    On part d'un carré a×a.
    On isole 2 carrés b×b et c×c aux 2 coins opposés
    oui
    Est-ce un résultat généralisable ?
    Évidemment non.
    Je dois pouvoir démontrer qu'il existe une valeur pour b et c quelle que soit la valeur de a
    qui permet de dire que la surface de la bande centrale est égale à r1+r2
    cdl remy
  • Aumenier montre une fois de plus son incapacité à communiquer, à dire de quoi il parle. ici il n'y a aucune identité, mais il y a peut-être quelque chose dans sa tête, comment savoir ?
    Se rend-il compte combien ses interventions sont ridicules ???
  • Modifié (9 May)
    Pour $a$ fixé, il y a une infinité de valeurs $(b,c)$ qui conviennent. Mais pour $a$ et $b$ fixés, il n'y a en général qu'une valeur de $c$.
    Ça pourrait faire un bel exercice pour un collégien.
  • Bon, grâce à lourrran, j’ai compris la signification des lettres.

    $r_1=(a-c)c$
    $r_2=(a-b)b$
    $r_3=a(a-b-c)$

    L’égalité n’est pas vérifiée quels que soient $a$, $b$ et $c$. 
  • Modifié (9 May)
    gerard0 a dit :
    Aumenier montre une fois de plus son incapacité à communiquer, à dire de quoi il parle.
    @Aumenier me rappelle un certain prof de physique-mathématique, c'était difficile de comprendre ce qu'il essayait de communiquer.
    Et à côté, t'as toujours une ou deux personnes qui semblent comprendre parfaitement et font comme si de rien était 😅
    Mais bon, je dis cela sans méchanceté @Aumenier
  • Modifié (9 May)
    Oui,
    il y a une certaine tendance à inventer des significations aux messages peu cohérents, aux énoncés d'exercices mal ou incomplètement copiés, etc. Parfois, on ne sait jamais de quoi parlait le posteur initial !
    Cordialement.
  • DomDom
    Modifié (9 May)
    Les solutions sont les nombres positifs $a$, $b$ et $c$ tels que le triangle dont les côtés sont $a$, $a-b$ et $a-c$ soit rectangle. 
  • Ou bien ça peut être formulé:
     $a,b,c$ positifs avec $b+c \leqslant a$ vérifiant $(a-c)^2+(a-b)^2=a^2$.
    Il y en a ... Par exemple $a=5,b=2,c=1$.
  • Modifié (10 May)
    donc maintenant que c'est plus simple. Est-ce que je peux dire $\forall a \in \mathbb{N},\ \exists b , c \in \mathbb{N} $ tels que
    $r1=(a-c)c$
    $r2=(a-b)b$
    $r1+r2=r3=(a-b-c)a$
    À titre personnel, j'ai un doute sur le quelque soit a
    cdl remy.
  • Traduire du charabia en un discours clair, c'est quelque chose que je dois faire de temps en temps dans mon job. Ici, c'était facile.

  • Tu es informaticien ?
  • @Aumeunier, utilise des connecteurs logiques.
  • Pour tout a, en prenant b=a et c=0, l'égalité est vérifiée
  • Et aussi avec b=a et c=2a (mais les $r_i$ sont négatifs).
  • Pas informaticien, plutôt touche-à-tout.  
  • Tu viens de modifier totalement les données du problème, tu parles de $a, b$ et $c$ qui doivent être dans $\mathbb{N}$

    J'aurais dû deviner, vu tes messages habituels autour de l'arithmétique.

    Tout ce que les gens t'ont raconté (moi en particulier), c'était pour $a b$ et $c$ des réels positifs. Pas forcément entiers.
    La contrainte $a,b,c$ entiers fait qu'il y a beaucoup beaucoup moins de solutions.
  • Tout ça n'a rien à voir avec le forum géométrie.
  • Modifié (10 May)
    En toute honnêteté , je pensais sincèrement que cette relation était connue.
    Bon bref, donc à partir de cette figure géométrique.
    Est-ce que je peux dire $\forall a \in \mathbb{N},\ \exists b , c \in \mathbb{N} $ tels que
    $r1=(a-c)c$
    $r2=(a-b)b$
    $r1+r2=r3=(a-b-c)a$

    À titre personnel, j'ai un doute sur le quelque soit a,par contre je suis en mesure de le démontrer  pour $\exists a \in \mathbb{N},\mid ... $
    cdl remy

    PS:l'on n'a pas le droit d'utiliser  \mid $\mid$ pour tels que ?
  • Modifié (10 May)
    Aumeunier a dit :
    Est-ce que je peux dire $\forall a \in \mathbb{N},\ \exists b , c \in \mathbb{N} $ tels que
    $r1=(a-c)c$
    $r2=(a-b)b$
    $r1+r2=r3=(a-b-c)a$
    Traduction.
    $\forall a (a\in \mathbb N \implies  \exists b \exists c ( b\in \mathbb N \wedge c\in \mathbb N \wedge (a-c)c+(a-b)b=(a-b-c)a))$

    C'est ça que tu aurais dû écrire. La prochaine fois, écris quelque chose qui ressemble à ça.
  • DomDom
    Modifié (10 May)
    Pourquoi cette relation serait connue puisqu’elle est fausse ?
    Elle conduit à un théorème, éventuellement, mais ça ne peut pas être une « relation connue ». 
  • Partant d'un nombre $a$, tu peux toujours trouver $b$ et $c$ qui conviennent. Il suffit de prendre $b=a$ et $c=0$. Ou encore $b=0$ et $c=a$.
    Mais évidemment, ces 2 solutions triviales n'ont aucun intérêt. Et donc, on imagine que tu cherches $b$ et $c$ tous 2 non nuls.
    Mais dans ce cas, pour des nombres comme $a=1$ ou $a=2$, on voit très vite qu'il n'y a pas de solution.

    Soit tu imposes $b$ et $c$ non nuls, et c'est évident que pour certaines valeurs de $a$, il n'y a pas de solution.
    Soit tu acceptes les solutions triviales, et c'est évident qu'il y a au moins une solution pour toute valeur de $a$.

    Dans les 2 cas, l'exercice est évident. La seul difficulté, c'est d'imaginer ce que tu cherches.
  • Modifié (10 May)
    @Igbinoba pourquoi faut-il toujours compliquer les choses  en mathématiques et oui je connais  algèbre de Grassmann.
    @lourran merci j'ai repris ma démo pour que cette relation soit vraie ou pour que b et  c existent il faut que $a^2=x^2+y^2$
    avec bien sûr comme dab un (sauf erreur).
    cdl remy
  • Modifié (10 May)
    Aumeunier a dit :
    @Igbinoba pourquoi faut-il toujours compliquer les choses  en mathématiques et oui je connais  algèbre de Grassmann
    Ce que j'ai écrit n'est en rien compliqué, c'est le stricte minimum. Tu n'as qu'à présenter ce que tu as écrit et la traduction que j'ai donnée à n'importe qui ayant fait des études de mathématiques, ils te diront laquelle des versions est plus "facile" à comprendre. Aussi, je ne vois pas pourquoi tu parles de "l'algèbre de Grassmann". Mais bon, j'ai traduit dans le but de t'aider et non pour autre chose.
    Cordialement.
  •  j'ai repris ma démo pour que cette relation soit vraie
    ?? 
    Désolé, jusque là, j'arrivais à suivre ton charabia et à le transformer en un discours à peu près compréhensible, mais là, je ne sais plus faire la part des choses entre les erreurs d'expression, les erreurs de maths, et les erreurs inclassables.

  • Modifié (10 May)
    chaque fois que $a^2=x^2+y^2$ alors tu pourras dire $\exists b , c \in \mathbb{N} $ tels que
    $r1=(a-c)c$
    $r2=(a-b)b$
    $r1+r2=r3=(a-b-c)a$.
  • Chaque fois qu'on peut trouver $x$ et $y$ entiers non-nuls, tels que $a^2=x^2+y^2$, alors on peut trouver $b$ et $c$ entiers non nuls, tels que  ... ...

    J'ajoute 'non-nuls', parce que c'est essentiel. 

    Admettons. Tu affirmes ce résultat. Il est peut-être vrai, peut-être faux, je ne sais pas. Je me cantonne à faire l'interprète.  
    Ce résultat, tu as démontré qu'il est vrai (tu ne sais probablement pas ce que ça veut dire, démontrer) ?
    ou tu supposes que c'est vrai ?
    ou tu as testé 5 ou 6 valeurs, et tu as constaté que c'était vrai pour quelques valeurs ?
  • Modifié (10 May)
    je suis même en mesure de dire des truc bizarre  comme par exemple
    si $n$ est impair alors  $(a^n-b^n-c^n)\mod(a)=0$,
    avec comme dab un (sauf erreur).
    Bon entre nous cela m'éloigne un peut trop de mon pdf
    remy.
  • Modifié (10 May)
    L'art de compliquer les choses : ce message.
    On ne sait pas qui sont $a,x$ et $y$ (dans le forum géométrie, ce sont à priori des réels, probablement positifs). Et $r_1$ et $r_2$ ne servent à rien. mais l'incompétent Aumenier les a utilisés dans sa réflexion et tient quand même à les utiliser.
  • Bonjour ,
    "mais l'incompétent Aumenier"  . Ce n'est pas très agréable , un peu méprisant .
    Cordialement
  • Modifié (10 May)
    Ah non, pas du mépris, ce n'est qu'une constatation, basée sur ce qu'il a publié sur le forum.
    Et je n'ai pas l'habitude de brosser les gens dans le sens du poil, je ne suis pas toujours "agréable".
    Pour l'incompétence, voir ce qu'il a fait de mes réponses sur sa question, une fois éclaircie (par d'autres). Rien : les maths ne l'intéressent pas.
    Cordialement.
  • Allez jouer ailleurs. Ce forum s'intéresse à la géométrie,
    pas aux élucubrations élucubrantes, ni aux prétentions décodantes.
  • Je ne vous donnerais pas la démonstration pour que
    chaque fois que $a^2=x^2+y^2$avec $a,x,y  \in \mathbb{N} $ alors   $\exists b , c \in \mathbb{N} $ tels que
    $r1=(a−c)c$
    $r2=(a−b)b$
    $r1+r2=r3=(a−b−c)a$ dans


    Par contre je vous écoute ,si si

  • Soit a un naturel
    Pour tout triplet pythagoricien (x,y,a) (même avec x ou y nul)
    Le couple (b,c) avec b=a-x et c=a-y convient
    allez ciao !
  • Modifié (10 May)
    @Zgrb un peu court sans explication mais cela me va.
  • Venant d'un type qui dit qu'il ne donnera pas sa démo...
    Je ne vais pas t'offrir la mienne  ;)
  • Modifié (11 May)

    Ok ok, pour commencer nous serons d’accord pour dire que l’hypoténuse est plus grande que le côté d’un carré donc rsa et tranquille.
    Je sais mais à chacun ses obsessions, ensuite.
    Si les 2 petits carrés se touchent $r3=0$ et s’ils sont tout petits $r3 \to a^2$
    Donc il existe une solution entière ou pas, peu importe mais il existe une solution.
    Donc je peux dire que tous les carrés sont une somme de 2 carrés et comme toutes les surfaces entières ou pas, peuvent être représentés sous forme de carré, je peu les décomposer en somme de 2 carrés, je ne sais pas vraiment ce que cela implique (mais cela me plaît bien).
    Un avis argumenté peut-être ?

    cdl remy
  • Modifié (17 May)
    et l'on doit pouvoir généraliser à mon avis.
    cdl remy.
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