Pas de 1 consécutifs
Bonjour à tous. Voici un exercice qui me laisse sans voix.
On considère une pièce qui a la probabilité $p$ de faire Pile et $q=1-p$ de faire Face.
On lance $n$ fois la pièce. Quelle est la probabilité $a_n$ que l'on ait pas obtenu au moins deux $1$ consécutifs ?
Merci d'avance pour votre aide.
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Réponses
Notons $p_n$ est la probabilité de "n'avoir pas deux piles à la suite et terminer par pile" et $q_n$ est la probabilité de "n'avoir pas deux piles à la suite et terminer par face" alors $p_{n+1} = p\,q_n$ et $q_{n+1} = (1-p)\,p_n + (1-p)\,q_n$.
On est donc ramené à une étude d'un système récurrent, qu'on peut traiter par diagonalisation ou par réduction à une relation de récurrence d'ordre 2.
Une bonne $(n+2)$-séquence, c'est $0.$ Une bonne $(n+1)$-séquence ou $10$. Une bonne $n$-séquence.
pour affiner, vu que je n'ai parlé précédemment que du cas $p=q\ (=1/2)$
Le nombre $F_n^k$ de bonnes $n$-séquences de poids $k$ est $C_{n+1-k}^k$ (désormais $\binom {n+1-k}{k}$(qui est bien plus chiant à écrire en latex que $C_{n+1-k}^k$)).
Salut Alain, j'ai toujours du mal à parler de suite pour une fonction dont l'ensemble de départ est fini. En ce cas, je parle de séquence bien que j'ai(e) lu sur notre cher forum que c'était un anglicisme regrettable (mais j'ai oublié l'argument, auquel j'ai souscrit alors, qui prouvait que c'était regrettable)).
C'est faire plaie que de parler de ton fils et du fils de mon ami: un genou, une main, c'est quoi le pire? Je ne sais pas, je voterais pour la main. Qu'importe. L'un est tombé sous les fous d'Allah, l'autre sous ceux de (notre) Jupiter. Ben, Allah (sans jeu de mots!) je n'y peux rien, mais Jupiter, on peut lui foutre sa branlée sans pour autant voter pour qui massacrerait plus que lui encore.
-- Schnoebelen, Philippe
-- Schnoebelen, Philippe
Comme d'habitude, quand un type donne une réponse plus ou moins normale à un message plus ou moins débile anti-Macron, tu critiques la réponse normale, et tu ne dis mot sur le message débile.
-- Schnoebelen, Philippe
D'autre part la pièce est équilibrée donc à chaque manche chacun des joueurs a la probabilité $1/2$ de gagner la manche.
Il est alors clair que $q_n=\dfrac18p_n$.
En calculant les premières valeurs de $p_n$ j'ai deviné pour $n\geq3$ : $p_n=\dfrac{F_{n-1}}{2^{n-3}}$ (suite de Fibonacci).
La somme des $q_n$ est égale à $1$ donc la probabilité que personne ne gagne est nulle.