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Problème d'optimisation

Modifié (15 May) dans Analyse
Bonjour,
 une première aide pour cet exo.  merci par avance,   prenez soin de vous.  Simeon

Réponses

  • De tête (donc à vérifier), se fait immédiatement avec les multiplicateurs de Lagrange. Sauf erreur (le calcul de tête j'ai du mal), en condition nécessaire on obtient $y=z$, alors la dernière condition permet de tout exprimer en fonction de $x$ et en reportant dans la première on obtient $(x^2-2)^2=0$ d'où le résultat (ce problème a au moins une solution en raison de la compacité de $S$). Je propose donc $(-\sqrt{2},1,1)$ comme point de minimisation.
  • Modifié (15 May)
    Bonjour
    On montre avec des moyens élémentaires (polynôme du second degré) que $S$ ne  contient que 2 points.  $(\sqrt{2},1,1)$  et  $(-\sqrt{2},-1,-1)$
    Ce qui confirme le résultat de @math2
  • Modifié (15 May)
     Merci à tous de vos aides précieuses,
      prenez soin de vous Simeon.
  • ah oui, lire des $-1$ au lieu des $1$. Bêtement, je n'avais pas remarqué que $S$ est réduit à $2$ points ...
  • Non, c'est très bien. Cela m'a permis de m'intéresser aux multiplicateurs de Lagrange…  :)
  • Modifié (16 May)
    Une manière de réviser le théorème des fonctions implicites si on s'intéresse à la démonstration du théorème.
    Attention, si on ne fait pas le lagrangien augmenté, ne pas oublier qu'il y  a des hypothèses pour pouvoir obtenir les multiplicateurs (je n'ai d'ailleurs pas vérifié sur l'exemple cité plus haut, au vu de ce qu'écrit bd2017 elles ne doivent pas être vérifiées, je devrais faire le lagrangien augmenté sans doute). Minimisez n'importe quelle fonction sur l'ensemble réduit à un élément $S=\{(x,y) \mid x^2+y^2=0\}$, il y a toutes les chances que le théorème soit mis en défaut, sinon toute fonction $f$ différentiable satisferait $\nabla f(0,0)=0$ !!!
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