Espace qui n’est pas de Hilbert
Bonjour,
on veut montrer que $E=\lbrace f \in C([0,1],R), f(0)=0\rbrace$ n’est pas un Hilbert pour $<f,g>=\int_{0}^{1}fg$
on veut montrer que $E=\lbrace f \in C([0,1],R), f(0)=0\rbrace$ n’est pas un Hilbert pour $<f,g>=\int_{0}^{1}fg$
J’ai cherché un contre exemple qui ne vérifierait pas l’identité du parallélogramme mais je n’ai pas trouvé.
Auriez-vous une idée de la démonstration ?
Auriez-vous une idée de la démonstration ?
Merci
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
J’avais bien cerné que c’était effectivement un espace préhilbertien, et c’est la complétude qui me pose problème, je n’arrive pas à exhiber une suite de Cauchy qui convient
mais j’avoue que j’ai du mal à traduire mathématiquement ce que vous suggérez
mainetnant que j’ai mon candidat pour ma suite, admettons que j’ai montré qu’elle était de Cauchy (avec la définition classique), comment conclure quant au caractère non complet ?
As-tu fait un dessin ?
remarque : la convergence simple, c’est « je fixe $x$ et je regarde ce que donne la suite $f_n(x)$.
oui j’ai fait un dessin
j’ai mieux compris ainsi, bonne soirée
•la limite simple n’est pas dans E (car la fonction vaut 1 partout sauf en 0, si encore une fois on parle de la même suite qui est : $f_n(0)=0$, $f_n(x)=1$ pour $x\geq \dfrac{1}{n}$, et continue affine sur $[0;1]$).
•mais la suite converge dans E (au sens $\mathcal L_1$ donc) vers la fonction constante égale à 1 (qui n’est pas dans $E$ puisque l’on doit avoir $f(0)=0$)
Par contre les deux phrases a) et b) sont justes, non ? (non !)
Pour moi, "la limite simple" ici ne pose pas de problème. Et l'expression peut être sans obligation à être dans $E$.
C'est juste une expression qui dit : pour tout $x$, $(f_n(x))$ converge dans $\mathbb R$).
Et pour la convergence dans $E$, c'est pourtant la définition :
il existe $f \in E$ tel que $\displaystyle \lim\limits_{n} \int_0^1 |f_n-f|^2 =0$
Exact : il existe un fil où j'étais hésitant sur ces questions et on énonce un théorème "la limite simple est presque partout la limite $\mathcal L^p$" si encore une fois j'ai bonne mémoire...
Pour moi, "la limite simple" ici ne pose pas de problème. Et l'expression peut être sans obligation à être dans $E$.
C'est juste une expression qui dit : pour tout $x$, $(f_n(x))$ converge dans $\mathbb R$).
Et pour la convergence dans $E$, c'est pourtant la définition :
il existe $f \in E$ tel que $\displaystyle \lim\limits_{n} \int_0^1 |f_n-f|^2 =0$
Exact : il existe un fil où j'étais hésitant sur ces questions et on énonce un théorème "la limite simple est presque partout la limite $\mathcal L^p$" si encore une fois j'ai bonne mémoire...
En effet, tu mets le doigt sur tout ce qu’il faut (restriction sur ]0;1]).
1) la limite simple n’est pas dans E
2) on parvient à trouver quand même une limite dans E. ERREUR !
J’ai zappé $f(0)=0$ dans tout mon discours.
Quel imbécile !!!