Problème d'optimisation

Simeon-urbain
Simeon-urbain
Modifié (May 2022) dans Analyse
Bonjour,
 une première aide pour cet exo.  merci par avance,   prenez soin de vous.  Simeon

Réponses

  • math2
    math2
    De tête (donc à vérifier), se fait immédiatement avec les multiplicateurs de Lagrange. Sauf erreur (le calcul de tête j'ai du mal), en condition nécessaire on obtient $y=z$, alors la dernière condition permet de tout exprimer en fonction de $x$ et en reportant dans la première on obtient $(x^2-2)^2=0$ d'où le résultat (ce problème a au moins une solution en raison de la compacité de $S$). Je propose donc $(-\sqrt{2},1,1)$ comme point de minimisation.
  • bd2017
    bd2017
    Modifié (May 2022)
    Bonjour
    On montre avec des moyens élémentaires (polynôme du second degré) que $S$ ne  contient que 2 points.  $(\sqrt{2},1,1)$  et  $(-\sqrt{2},-1,-1)$
    Ce qui confirme le résultat de @math2. 
     
  • Simeon-urbain
    Simeon-urbain
    Modifié (May 2022)
     Merci à tous de vos aides précieuses,
      prenez soin de vous Simeon.
  • math2
    math2
    ah oui, lire des $-1$ au lieu des $1$. Bêtement, je n'avais pas remarqué que $S$ est réduit à $2$ points ...
  • bmf
    bmf
    Non, c'est très bien. Cela m'a permis de m'intéresser aux multiplicateurs de Lagrange…  :)
  • math2
    math2
    Modifié (May 2022)
    Une manière de réviser le théorème des fonctions implicites si on s'intéresse à la démonstration du théorème.
    Attention, si on ne fait pas le lagrangien augmenté, ne pas oublier qu'il y  a des hypothèses pour pouvoir obtenir les multiplicateurs (je n'ai d'ailleurs pas vérifié sur l'exemple cité plus haut, au vu de ce qu'écrit bd2017 elles ne doivent pas être vérifiées, je devrais faire le lagrangien augmenté sans doute). Minimisez n'importe quelle fonction sur l'ensemble réduit à un élément $S=\{(x,y) \mid x^2+y^2=0\}$, il y a toutes les chances que le théorème soit mis en défaut, sinon toute fonction $f$ différentiable satisferait $\nabla f(0,0)=0$ !!!
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