Sous groupes fermés connexes des complexes

Je cherche à prouver que les seuls sous-groupes fermés connexes de $(\mathbb C, +)$ sont $\{0\}$, $\mathbb C$ et les droites passant par l’origine.

Pour cela, j’en suis réduit à prouver que l’intersection d’un sous-groupe additif fermé connexe de $\mathbb C$ avec une droite passant par l’origine ne peut pas être discret.  Je sèche la dessus… Je ne vois pas coment utiliser correctement le groupe quotient.

Auriez-vous une idée sur cette dernière question? Merci!