Épreuve centrale supélec 2022 math 2

Bonjour

$\mathbb P(B_j) \overset{(21)}= \displaystyle \sum_{m =\varphi(j) +1}^{\varphi(j+1)} \mathbb P (B_{j,m} ) \overset{(24)}\leqslant \sum_m \mathbb P(A_j \cap B_{j,m} )+ \sum_{m=\varphi(j) +1}^{\varphi(j+1)} \mathbb P \left( \left\{ |-S_{\varphi (j+1)}+S_m+S_m-S_{\varphi(j)}|>2^{-j}\right \}\cap B_{j,m} \right).$

$\mathbb P (B_j) \overset{(22)} \leqslant \mathbb P(A_j)+\displaystyle \sum_{m=\varphi(j) +1} ^{\varphi(j+1)}\mathbb P \left\{ |-S_{\varphi (j+1)}+S_m+S_m-S_{\varphi(j)}|>2^{-j}\right \}. $

$\mathbb P(B_j)\leqslant \mathbb P(A_j)+ \mathbb P \left\{ |-S_{\varphi (j+1)}+S_{\varphi(j+1)}+S_{\varphi(j+1)}-S_{\varphi(j)}|>2^{-j}\right \} = 2\:\mathbb P(A_j).$

L'appartenance à $\N$ évoquée par la question $23$ n'intervient pas.

Re,

Ta remarque est on ne peut plus judicieuse. J'ai en effet lu tout de travers, sûrement  parce que "quel que soit $m$" m'arrangeait bien. Tout est donc à recommencer. Je m'y replonge dès que possible

$\mathbb P(B_j) \overset{(24)} \leqslant \displaystyle \sum _{m=\varphi(j)+1}^{\varphi(j+1)} \left [\mathbb P\left( \Big\{ |S_{\varphi(j+1)} -S_m+S_m-S_{\varphi(j)}| >2^{-j}\Big\}\cap B_{j,m}\right) +\mathbb P\left( \Big\{ |-S_{\varphi(j+1)}+ S_m+S_m-S_{\varphi(j)}|>2^{-j} \Big\}\cap B_{j,m}\right)\right].$

$\mathbb P(B_j) \overset{(23)}\leqslant 2 \:\displaystyle \sum _ {m=\varphi(j)+1}^{\varphi(j+1)}\mathbb P\left( \Big\{|S_{\varphi(j+1)} - S_{\varphi(j)}|>2^{-j}\Big \} \cap B_{j,m}\right)=  2 \sum _{m=\varphi(j)+1}^{\varphi(j+1)}\: \mathbb P\left ( A_j \cap B_{j,m} \right)\overset{(22)}=2\:\mathbb P(A_j).$

Re,

Avec la parité de la fonction $\alpha \mapsto \dots $

 Non:  il est bien écrit que "la fonction est paire" (même s'il est vrai qu'elle est  aussi à "valeurs dans $2\N$"). 

Soient $\Omega = \{-1; 1 \} ^{\varphi(j+1) - \varphi(j)}, \quad E_{\alpha} = \left\{| \alpha S_{\varphi(j+1)} - \alpha S_m +S_m - S_{\varphi(j)} |> 2^{-j} \right\} \cap B_{j,m}.\qquad E_{\alpha}\subset \Omega.$

Pour $\omega \in \Omega,\: $ notons $\widehat{\omega} $ l'élément de $\Omega$ dont les coordonnées correspondant aux  valeurs prises par $X_{\varphi(j)+1}, \dots X_m $ sont identiques à celles de $\omega$, les suivantes étant les opposées de celles de $\omega.\:$ Alors :

$$ \forall \omega \in \Omega, \quad \omega \in E_{\alpha}\iff \widehat{\omega}\in E_{-\alpha}.$$

En utilisant le fait que $\omega \mapsto \widehat{\omega} \: $ est une involution de $\Omega$, on obtient que $\# E_{\alpha} =\#E_{-\alpha}.\: $ La relation  $\:2^{\varphi(j+1) - \varphi(j)} \mathbb P(E_{\alpha }) = \# E_{\alpha} , \: $  établit alors la parité de la fonction $\alpha \mapsto \mathbb P(E_{\alpha}).$