Orientation d'un espace euclidien
Bonjour.
Suis-je dans l'erreur en pensant que le choix de l'orientation directe de la base d'un espace vectoriel euclidien n'a d'importance qu'à partir du moment où l'on passe à une application numérique ? J'ai fait une analyse perso ici. Qu'en pensez- vous ?
Merci pour votre aide,
Pierre
Suis-je dans l'erreur en pensant que le choix de l'orientation directe de la base d'un espace vectoriel euclidien n'a d'importance qu'à partir du moment où l'on passe à une application numérique ? J'ai fait une analyse perso ici. Qu'en pensez- vous ?
Merci pour votre aide,
Pierre
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Réponses
$$f(x,y) = (x\mid y) + \det{}_bx,y)$$
ta fonction $f$ dépend du choix de la base $b$ (en particulier si tu changes l'orientation), même avant application numérique.
Pour répondre à ta réponse, j'ai du mal à comprendre pourquoi ce que j'ai écrit est faux. J'admets volontiers que ma fonction devrait s'appeler $f_b$ car elle dépend de la base $b$. Je dis seulement que je n'ai pas besoin [de] savoir si la base $b$ est directe ou rétrograde. La formule littérale exprimant $f_b$ sera la même dans toutes les bases. Il faut s'intéresser à l'orientation de la base uniquement au moment où on veut changer de base. Ou bien si on veut faire une application numérique car la valeur numérique dépendra évidemment de la base choisie.
C'est vraiment faux ou bien c'est juste mal dit ?
En fait le résultat d'un calcul vectoriel $f_b(x,y)$ n'est pas forcément bilinéaire. Ensuite s'il l'est, il n'est pas forcément symétrique (défini positif ou négatif) ou alterné. Dans le premier le résultat est indépendant de la base et est forcement de la forme $f_b(x,y)=\lambda (x\mid y)$ et dans le second cas il dépend de l'orientation de la base et est forcément de la forme $f_b(x,y)=\mu \operatorname{Det}(x,y)$. L'exemple de fonction $f_b$ que j'ai pris est une somme des deux, c'est un peu baroque et sans intérêt je pense.
Par contre je ne crois pas que ma fonction $f_b$ change en fonction de la base si on reste dans une base orthonormale de même orientation.