Homographie, ordre et point fixe

nyadis · May 2022

Salut à tous. Encore moi et les homographies !
Aujourd'hui j'étudie le lien qui existe entre l'ordre d'une homographie et son nombre de points fixes.
Nous savons qu'une homographie à 0, 1 ou 2 point(s) fixe(s). J'aimerais donc construire des homographies avec un point fixe et d'autres avec deux points fixes ayant un certain ordre précis. J'ai donc besoin de savoir comment ils interagissent.
Merci pour vos réactions !

Poirot · May 2022

Une homographie avec deux points fixes est conjuguée à une homographie de la forme $\left[ \begin{matrix} \lambda & 0 \\ 0 & \mu \end{matrix} \right]$ avec $\lambda \neq \mu$. Tu peux spécifier son ordre comme tu le souhaites en prenant pour $\lambda$ et $\mu$ des racines de l'unité, si tant est que de telles racines existent dans le corps sur lequel tu travailles.

Une homographie avec un seul point fixe est conjuguée à une homographie de la forme $\left[ \begin{matrix} 1 & \lambda \\ 0 & 1 \end{matrix}\right]$, avec $\lambda \neq 0$. Elle sera d'ordre $n$ précisément lorsque $n \lambda = 0$ avec $n$ minimal. Là encore, ça va fortement dépendre du corps dans lequel tu travailles.

Une homographie sans point fixe correspond à la classe d'une matrice $2 \times 2$ non trigonalisable. Son polynôme minimal est de degré au plus $2$ et ne peut pas être de degré $1$ (sinon l'homographie est triviale), et doit donc être un polynôme irréductible de degré $2$. Encore une fois, l'existence d'une telle homographie va donc dépendre du corps.

Math Coss · May 2022

Attention à ne pas oublier que l'ordre de la ou des valeurs propres peut être le double de l'ordre de l'homographie, selon leur parité.

Dom · May 2022

Remarque : peut-être faut-il exclure l’identité pour éviter de n’avoir que des points fixes.

Homographie, ordre et point fixe

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