Préliminaires formes symplectiques Centrale 2022
Bonsoir,
La question $2$ me pose des problèmes. Comment on est sûr que $M$ admet des valeurs propres ? Si elles sont complexes, ça n'a aucun sens de parler de valeurs propres strictement positives non ?
$Q_1$) Soient $i,j$ fixés dans $[|1,n|]$.
Je prends $Y=(0, \cdots,0, 1, 0 \cdots, 0)$ avec un $1$ en $i$ ème position et $X=(0, \cdots,0, 1, 0 \cdots, 0)$ avec un $1$ en $j$ ième position.
Alors $[AY]_{k} = a_{ki}$ et donc $X^T AY= a_{ji}$
De même $X^T BY =b_{ji}$
On a donc montré $\forall (i,j) \in [|1,n|]^2 \ a_{ji}=b_{ji}$. Finalement $\boxed{A=B}$.
$Q_2$) Notons $Sp(M)=\{ \lambda_1 , \cdots, \lambda_n \}$. On sait que $Sp( M^T)= \{ \lambda_1 , \cdots, \lambda_n \}$.
Donc $\det (M^T M)= \displaystyle\prod_{k=1}^n \lambda_k ^2 \ne 0$.
La question $2$ me pose des problèmes. Comment on est sûr que $M$ admet des valeurs propres ? Si elles sont complexes, ça n'a aucun sens de parler de valeurs propres strictement positives non ?
$Q_1$) Soient $i,j$ fixés dans $[|1,n|]$.
Je prends $Y=(0, \cdots,0, 1, 0 \cdots, 0)$ avec un $1$ en $i$ ème position et $X=(0, \cdots,0, 1, 0 \cdots, 0)$ avec un $1$ en $j$ ième position.
Alors $[AY]_{k} = a_{ki}$ et donc $X^T AY= a_{ji}$
De même $X^T BY =b_{ji}$
On a donc montré $\forall (i,j) \in [|1,n|]^2 \ a_{ji}=b_{ji}$. Finalement $\boxed{A=B}$.
$Q_2$) Notons $Sp(M)=\{ \lambda_1 , \cdots, \lambda_n \}$. On sait que $Sp( M^T)= \{ \lambda_1 , \cdots, \lambda_n \}$.
Donc $\det (M^T M)= \displaystyle\prod_{k=1}^n \lambda_k ^2 \ne 0$.
Mots clés:
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Mais tu peux couper la poire en 2. Entre des problèmes de lycée, et des problèmes de Centrale, tu peux te planter plutôt sur des problèmes type Ecole de Commerce.
Et quand tu te seras planté pendant 2 ou 3 ans sur ces problèmes d'écoles de commerce, tu pourras t'attaquer aux exercices de niveau terminale et te planter à nouveau.
Je ne cherche pas des sujets difficiles mais des sujets accessibles. Je ne sais pas dans quel catégorie est classé ce sujet.
Je vais réfléchir davantage.
Une année (entre 2015 et 2020 je crois) des collègues de prépa faisaient le commentaire qu'un sujet tombé dans un concours scientifique (les mines je crois) était très proche d'un sujet tombé en ECS quelques années auparavant ... Nos collègues en prépa voient peut-être de quel sujet c'est.
Rescassol
Donc $(A-B)Y=0$ pour tout $Y$ donc $A=B$.
@gai requin ok merci. $< X, (A- B ) Y>= X^T ( A- B ) Y)= X^T A Y - X^T BY =0$
Je ne comprends pas comment tu en déduis que $(A-B)Y=0$
@Amédé la notion de matrice symétrique définie positive est hors programme.
Q2) Posons $A=M^T M$. La matrice $A$ est symétrique réelle donc diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs propres.
Soit $X$ un vecteur propre associé à $\lambda$. On a $M^T M X= \lambda X$.
Donc $<M^T M X ,X> = \lambda || X||^2 = \lambda$. Or $<MX, MX>=X^T M^T M X= X^T \lambda X= \lambda || X||^2= \lambda$
@bd2017 donc $\lambda = \lambda$ en quoi ça nous aide ? Je ne vois pas comment en déduire que $\lambda$ est positif.
Montrons qu'il existe $S$ symétrique telle que $S^2 = M^T M$.
Il existe $P$ inversible et $D$ diagonale telle que $M^T M = P D P^{-1}$ avec $D=diag( \lambda_1, \cdots, \lambda_n)$
Comme $\lambda_k >0$ on peut définir $D' =diag ( \sqrt{ \lambda_1} , \cdots, \sqrt{ \lambda_n})$
La matrice $\boxed{S= P diag ( \sqrt{ \lambda_1} , \cdots, \sqrt{ \lambda_n}) P^{-1}}$ convient.
Les candidats qui font l'épreuve, ils cherchent dans leur cerveau, parce qu'ils n'ont pas le droit de faire autrement. C'est à cause de ça qu'ils vont vite.
Il en découle que les valeurs propres sont positives.
J'ai avancé dans la partie 1 ça n'a pas l'air très dur.
Après tout, nous ne nous sommes jamais rencontré, et si Oshine était juste un programme pour faire de l'audience ?
Je me pose VRAIMENT la question, parce qu'essuyer autant de critiques sans aucune réaction mérite une médaille, pas la Fields en tous les cas.
J'attends confirmation, même en message privé
Oshine existe tu vraiment ?
Merci de confirmer.
ojsanssimpson
Par contre, tes faiblesses en méthodes de travail me font halluciner. Là, tu bats des records.
Dans la partie 1 j'ai réussi les questions 2 à 8 je vais poster pour voir si j'ai bon.
Il y a un juste un détail qui me bloque mais ça me semble à mon niveau.
C'est la partie 1 de Centrale MP maths 1 2022. J'aimerais savoir si ce que j'ai fait est correct avant de continuer. Il m'a fallu 1 heure pour traiter ces questions.
Q3) Soit $x \in E$. La propriété d'antisymétrie fournit $w(x,x)=-w(x,x)$ donc $2 w(x,x)=0$ donc $w(x,x)=0$.
Q4) $F^w$ est non vide. En effet, d'après la propriété de non dégénérescence, $\forall y \in E \ w(x,0)=0$. Ainsi $0 \in F^w$.
Soient $x,y \in F^w$. Soit $y \in F$. Alors $w(x+y,y)=w(x,y)+w(y,y)=0+0=0$.
Soit $\lambda \in \R$. On a $w( \lambda x,y)=\lambda w(x,y)=\lambda \times 0=0$.
Q5) On a $F^w \cap F= \{ x \in F \ | \ \forall y \in F \ w(x,y)=0 \} = \{0 \}$ d'après la non dégénérescence donc $F$ et $F^w$ sont en somme directe.
Q6) $\dim E= \dim L(E,\R)$ donc il suffit de montrer l'injectivité. D'après la non dégénérescence, $\ker (d_w)= \{0 \}$ d'où l'isomorphisme.
Q7) Ca me semble une évidence, si on fixe $u \in L(F,\R)$, on cherche à résoudre $u= \ell_{ | F}$. Il suffit de prendre pour $u$ un endomorphisme qui coïncide avec $\ell$ sur $F$.
Je disais que le programme de prepa scientifique est plus vaste que le programme de prepa éco.
- La rédaction de la Q4 est ignoble. Je rejoins JLapin, erreurs de variables.
Il faudrait que tu rédiges correctement la Q4.
- $F^w$ est non vide. En effet, comme $\forall y \in E \ \ w(0,y)=0$ et que $F \subset E$ alors $ \forall y \in F \ \ w(0,y)=0$ donc $0 \in F^w$.
- Soient $x,y \in F^w$. Alors $\forall z \in F \ w(x,z)=w(y,z)=0$. Montrons que $x+y \in F^w$. On a $\forall z \in F \ w(x+y,z)=w(x,z)+w(y,z)=0+0=0$.
- Soit $\lambda \in \R$ et $x \in F^w$. Montrons que $\lambda x \in F^w$. Alors $\forall z \in F \ w( \lambda x,z)= \lambda w(x,z)= \lambda \times 0=0$.
On a montré que $F^w$ est un sous-espace vectoriel de $E$.On a : $F^w= \{ x \in \R^2 \ | \ \forall y \in Vect(1,1) \ w(x,y)=0 \}$.
Soit $(e_1,e_2)$ la base canonique de $\R^2$. Remarquons que $e_1 +e_2 \in F$.
Mais $w(e_1+e_2,e_1+e_2)=0$ d'après $Q_3$. Ainsi $e_1+e_2 \in F^w$ et $e_1 +e_2 \ne 0$.
On a trouvé un élément non nul dans $F \cap F^w$, ce qui montre que $F$ et $F^w$ ne sont pas nécessairement en somme directe.
En probabilités / statistiques, il y a peu de choses à apprendre. Au moins au début. Tout de suite, il faut comprendre et non apprendre.
C'est pour ça que tu t'aperçois que tu es en échec tout de suite, alors que tu ne t'en aperçois pas en algèbre.
Donc soit tu en construis une sur $\R^2$ soit tu te rends compte que ton argument peut être appliqué à tout espace vectoriel muni d'une forme symplectique. Mais dans ce dernier cas il faut adapter ton contre-exemple, le généraliser à un ev quelconque quoi.
Je prends donc $F$ un sous-espace vectoriel inclus dans $E$ non réduit à $\{0 \}$ ce qui est possible car $n \geq 1$. Ainsi, il existe $z \in F$ tel que $z \ne 0$. Posons $F=Vect(e_1, \cdots, e_p)$ avec $1 \leq p \leq n$.
Donc il existe $\lambda_1, \cdots, \lambda_p \in \R^p$ non tous nuls tel que $z= \displaystyle\sum_{k=1}^p \lambda_k e_k$.
On a $F^w= \{ x \in E \ \ | \ \forall y \in F \ w(x,y)=0 \}$.
Soit $y \in F$ alors $y= \displaystyle\sum_{l=1}^p \mu_l e_l$.
Donc $w(z,y)=\displaystyle\sum_{k=1}^p \displaystyle\sum_{l=1}^p \lambda_k \mu_l w( e_k ,e_l)$. Si $k=l$ on a $w(e_l,e_l)=0$ et si $k \ne l$ par antisymétrie, tous les termes vont s'annuler.
Finalement il existe un élément non nul $z \in F^w \cap F$ donc $F$ et $F^w$ ne sont pas en somme directe.