Rationnel r tel que r^r est rationnel
dans Arithmétique
Bonjour,
Je suis nouveau sur le forum et je pense que j'aurai dû me présenter dans la section appropriée. Mais voici un exercice que je peine à résoudre : Soit $r$ un nombre rationnel strictement positif. Si $r^r$ est un nombre rationnel, alors $r$ est en réalité un nombre entier.
Mon idée consiste à procéder comme suit : Je pose $r=\frac{a}{b}$ et $r^r=\frac{p}{q}$, avec $a\wedge b=1$ et $p\wedge q=1$. Je suppose que les entiers $a$, $b$, $p$ et $q$ sont tous positifs. Il s'agit alors de montrer que $b=1$.
On a l'égalité : $a^a q^b = b^a p^b$. Dès lors, par application du théorème de Gauss, $b$ divise $q^b$, c'est-à-dire qu'il existe $k$ tel que $q^b=b k$. Ce qui entraîne : $a^a k = b^{a-1} p^b$. De même, il existe $l$ tel que $p^b = a l$, d'où $a^{a-1} k = b^{a-1} l$. A partir de là, je suis coincé et je n'ai plus d'idées.
Je vous remercie par avance de l'aide que vous voudrez bien m'apporter (et corriger les énormes bêtises que j'ai pu écrire). En revanche, je ne sais pas si j'ai posté la discussion dans la catégorie idoine ni si un exercice du même genre a déjà été posté.
Je suis nouveau sur le forum et je pense que j'aurai dû me présenter dans la section appropriée. Mais voici un exercice que je peine à résoudre : Soit $r$ un nombre rationnel strictement positif. Si $r^r$ est un nombre rationnel, alors $r$ est en réalité un nombre entier.
Mon idée consiste à procéder comme suit : Je pose $r=\frac{a}{b}$ et $r^r=\frac{p}{q}$, avec $a\wedge b=1$ et $p\wedge q=1$. Je suppose que les entiers $a$, $b$, $p$ et $q$ sont tous positifs. Il s'agit alors de montrer que $b=1$.
On a l'égalité : $a^a q^b = b^a p^b$. Dès lors, par application du théorème de Gauss, $b$ divise $q^b$, c'est-à-dire qu'il existe $k$ tel que $q^b=b k$. Ce qui entraîne : $a^a k = b^{a-1} p^b$. De même, il existe $l$ tel que $p^b = a l$, d'où $a^{a-1} k = b^{a-1} l$. A partir de là, je suis coincé et je n'ai plus d'idées.
Je vous remercie par avance de l'aide que vous voudrez bien m'apporter (et corriger les énormes bêtises que j'ai pu écrire). En revanche, je ne sais pas si j'ai posté la discussion dans la catégorie idoine ni si un exercice du même genre a déjà été posté.
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Réponses
De même, $q^b$ divise $b^a$, ce qui entraîne l'égalité $b^a=q^b$. Un raisonnement analogue montre que $a^a=p^b$. Je ne vois pas très bien comment poursuivre.
Utilise ensuite la décomposition de $b$ en facteurs premiers pour aboutir à une contradiction.
• Si $x=1$ alors : $a=1$ et $p=1$. De plus $b=q^{b}$ d’où $q=1$ et $b=1$.
Peut-être même que $a=\sqrt{2}$.
En fait vous devez faire une confusion avec le théorème qui dit qu'il existe $a$ et $b$ irrationnels tels que $a^b$ est rationnel
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Deux remarques
1) le "au moins" est fautif.
2) cette démonstration est inacceptable en logique intuitionniste
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse