Volume du tétraèdre orthocentrique
Bonjour
La référence donnée ne donne rien me semble-t-il ; je pourrais l'obtenir par la formule de Cayley Menger par élimination en utilisant les deux relations sur les arêtes, mais ce ne serait pas franchement élégant...
Je cherche une démonstration de la belle formule style Héron que j'ai traduite du site anglophone :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Tétraèdre_orthocentrique#Volume_du_tétraèdre_orthocentriqueLa référence donnée ne donne rien me semble-t-il ; je pourrais l'obtenir par la formule de Cayley Menger par élimination en utilisant les deux relations sur les arêtes, mais ce ne serait pas franchement élégant...
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Réponses
Le livre Parmi les belles figures de la géométrie dans l'espace (Victor Thébault, 1955) contient un nombre impressionnant de propriétés sur les tétraèdres. Voir en particulier le théorème page 74, il pourra peut-être aider.
De mon côté j'ai utilisé avec maple la formule de Cayley Menger en éliminant e et f par les relations a^2+d^2=b^2+e^2,a^2+d^2=c^2+f^2 et je suis bien tombé sur la formule de
https://fr.wikipedia.org/wiki/Tétraèdre_orthocentrique#Volume_du_tétraèdre_orthocentrique
à condition que a,b,c soient les trois longueurs des côtés d'une même face (et non trois longueurs issues du même sommet comme je l'avais pris au départ).
mais avec cette méthode, la belle expression p(p-a)(p-b)(p-c) n'apparait pas naturellement...
Correction : Piero della Francesca l'a précédé. Sur cette page wikipedia est décrite la méthode de Piero pour trouver la hauteur d'un tétraèdre.
On considère un tétraèdre $ABCD$ et on considère les 4 droites issues d'un sommet et perpendiculaires à la face opposée (les hauteurs). On en prend trois et on détermine le HH les contenant. Il contient la quatrième hauteur. On prend le déterminant de la matrice du HH. On trouve la puissance 4 du volume fois les carrés des différences des carrés des longueurs des arêtes opposées (fois une constante).
Lorsque deux de ces différences sont nulles, la troisième aussi et le tétraèdre est orthocentrique. D'où la question: que peut-on dire du HH lorsqu'une différence est nulle, mais pas les deux autres ?
Cordialement, Pierre.