Un rapport dans le triangle

Bouzar
Bouzar
dans Géométrie
Bonjour

Je propose ce problème.

1. ABC un triangle.
2. (I) le cercle inscrit de ABC.
3. A'B'C' le triangle I-cévien.
4. A* le milieu de [IA].
5. P le point d'intersection de AI et B'C'.

Démontrer : $\dfrac{A^{*}A}{A^{*}P} = \dfrac{IA’}{IP}$.

Source : Jean-Louis Ayme.

Amicalement

Réponses

  • usine
    usine
    Modifié (May 2022)
    Bonjour
    On a bien la relation demandée
    Avec mes notations selon la figure ci-dessous (car écrire A* pour un point n'est pas pratique ni écrire I car le I majuscule se confond avec la lettre l minuscule)
    J'ai choisi de noter $A_2$ le point P car j'ai une idée derrière la tête  mais cette idée est hors sujet 
    $A_0=A+\dfrac {b}{c+b}\left(B-A\right)+\dfrac {c}{b+c}\left(C-A\right)$
    $B_0=B+\dfrac {c}{a+c}\left(C-B\right)+\dfrac {a}{c+a}\left(A-B\right)$
    $C_0=C+\dfrac {a}{b+a}\left(A-C\right)+\dfrac {b}{a+b}\left(B-C\right)$
    $A_1=\dfrac {1}{2}O^{\prime }+\dfrac {1}{2}A$
    Alors $\dfrac {AA_1}{A_2A_1}=\dfrac {O^{\prime }A_0}{O^{\prime }A_2}$
    Ma démo n'est pas pratique car elle s'effectue en coordonnées cartésiennes et c'est pas le mieux mais en attendant on a une figure selon mes notations

  • poulbot
    poulbot
    Bonjour Bouzar
    Ce résultat est valable en prenant pour $I$ n'importe quel point du plan.
    On a alors $\dfrac{\overline{A^{\ast }A}}{\overline{A^{\ast }P}}=\dfrac{\overline{IA^{\prime }}}{\overline{IP}}$.
    Amicalemznt. Poulbot
  • Jean-Louis Ayme
    Jean-Louis Ayme
    Bonjour Poulbot et à tous,
    heureux de t'entendre...
    OK. pour votre généralisation...la preuve synthétique est aisée...j'attends toujours une proposition...

    Sincèrement
    Jean-Louis
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