Norme

Xavier Var · May 2022

Bonjour,

Je voulais savoir si dans un espace métrique toutes les distances sont subordonnées à une norme ?

Georges Abitbol · May 2022

Le mot "norme" est habituellement réservé à une application partant d'un espace vectoriel. En ce sens, ta question n'a pas de sens.

Blueberry · May 2022

Par contre, tout espace métrique est isométrique à un espace normé.

Calli · May 2022

Bonjour,
Attention : tout espace métrique est isométrique à un sous-ensemble d'un espace vectoriel normé. Mais il existe des espaces métriques qui ne isométriques à aucun evn (les compacts par exemple).

Blueberry · May 2022

Effectivement, la nuance est de taille, merci @Calli

Dom · May 2022

Bonjour
Pour ma culture générale, que signifie « distance subordonnée » ici ?
(Je connais « norme subordonnée », avec le sup sur la sphère, etc.)

Est-ce qu’ici ça veut tout simplement dire : il existe une norme telle que pour tout élément $x$ et $y$, $d(x;y)=||x-y||$ ? (avec des e.v.)
Cordialement.

Calli · May 2022

Oui c'est ça @Dom.

Dom · May 2022

👌

Du coup, dans $\mathbb R$, la distance discrète n’est pas subordonnée à une norme.

Si elle l’était on aurait :
1) $||6(10-2)||=1$

2) $||6(10-2)||=6||10-3||=6$.

(En gros la norme ne pourrait être qu’à valeurs dans $\{0;1\}$, ce qui trouble l’homogénéité).

Remarque classique : il existe des normes non euclidiennes.

Chaurien · May 2022

Blueberry, Calli, c'est le théorème d'Arens-Eells (1956) (et non « Fells » comme on lit parfois).

https://projecteuclid.org/journals/pacific-journal-of-mathematics/volume-6/issue-3/On-embedding-uniform-and-topological-spaces/pjm/1103043959.full

Proc. Amer. Math. Soc. 15 (1964), 415-416 :

https://www.ams.org/journals/proc/1964-015-03/S0002-9939-1964-0162222-5/S0002-9939-1964-0162222-5.pdf

Calli · May 2022

Ah oui, moi je connaissais le nom "Arens-Fells" justement. En regardant sur Wikipédia, j'ai aussi trouvé Kuratowski-Wojdysławski (qui ajoute juste que l'evn ambiant peut être choisi complet). Mais comme c'est impossible de se souvenir d'un nom pareil, je propose de rester sur Arens-Eells.

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