Spectre

stef_stef
stef_stef
Modifié (May 2022) dans Analyse
Bonjour
J'aimerais que quelqu'un me corrige si je dis des bêtises.
- En dimension finie, si $\lambda=0$n'est pas une valeur propre de l'endomorphisme $T$, alors elle appartient à l'ensemble résolvant.
- En dimension infinie, $\lambda=0$ peut appartenir au spectre de $T$ sans être une valeur propre.
Je vous remercie.

Réponses

  • gebrane
    gebrane
    Bonjour,
    Tes définitions des notions citées ? 
    Le 😄 Farceur


  • stef_stef
    stef_stef
    Modifié (May 2022)
    gebrane
    En fait, en dimension finie le spectre (c-à-d l'ensemble des scalaires pour lesquels $T-\lambda$ n'est pas inversible) est réduit au spectre ponctuel (ensemble des valeurs propres, c'est-à-dire les scalaires pour lesquels $T-\lambda$ n'est pas injectif).
    Donc si 0 n'est pas une valeur propre, il appartient automatiquement à l'ensemble résolvant (les scalaires pour lesquels $T-\lambda$ est inversible).
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • stef_stef
    stef_stef
    Modifié (May 2022)
    En dimension infinie et lorsque l'opérateur T est auto-adjoint compact, λ=0 est toujours dans le spectre de T, mais peut ne pas être une valeur propre.
  • gebrane
    gebrane
    Oui en dim finie le spectre est exactement les valeurs propres.
    Exercice pour toi en dim infinie. On considère  l endomorphisme T sur l^2 qui associe  (x_1,x_2,.....)----->(0,x_1,x_2,.....). Montre que 0 est valeur spectrale et que 0 n'est pas une valeur propre.
    Le 😄 Farceur


  • stef_stef
    stef_stef
    Modifié (May 2022)
    $T(\alpha_1,\alpha_2,\ldots)=\lambda(\alpha_1,\alpha_2,\ldots)\iff(0,\alpha_1,\ldots)=\lambda(\alpha_1,\alpha_2,\ldots)\iff(\alpha_1,\alpha_2,\ldots)=(0,0,\ldots)$
    Il n'existe donc aucun vecteur non nul $v$ tel que $Tv=\lambda v$ ( ie $T-\lambda$ est injectif ). Le spectre ponctuel est donc vide. Pour le reste, je pense qu'il suffit de vérifier que l'opérateur est compact.
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • gebrane
    gebrane
    Redescend sur terre!.
    Un argument simple pour dire que T n'est pas inversible ?
    Le 😄 Farceur


  • stef_stef
    stef_stef
    Modifié (May 2022)
    la non surjectivité ? franchement, je ne vois aucun élément de l2 qui n'a pas d'antécédents !

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]

  • gebrane
    gebrane
    Aucun?
    Le 😄 Farceur


  • stef_stef
    stef_stef
    Modifié (May 2022)
    Il y en a plein, toute suite dont le premier terme n'est pas nul :smile:

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]

  • stef_stef
    stef_stef
    Modifié (May 2022)
    Une dernière question s'il vous plaît. 
    Le théorème spectral - en dimension infinie - affirme que si H est un espace de Hilbert (séparable) et T un opérateur auto-adjoint compact sur H, l'existence d'une base hilbertienne (dénombrable) constituée de vecteurs propres de T.
    J'aimerais savoir si on dispose d'une méthode pratique pour déterminer cette base.
    Je vous remercie.
  • gebrane
    gebrane
    Modifié (May 2022)
    Oui la methode pratique est que tu sois capable de chercher les vecteurs propres.
    Exercice pour toi. Tu consideres le laplacien Dirichlet en dim 1 sur l'ouvert d'extrémités 0,1. Si tu es capable de chercher ces vecteurs propres tu vas gagner d’après le th spectral  une base hilbertienne de ton espace fonctionnel à  préciser. (Le latex me fatigue les yeux).
    Le 😄 Farceur


  • stef_stef
    stef_stef
    Modifié (May 2022)
    gebrane
    Cela revient à résoudre l'équation différentielle de second ordre $f''-\lambda f=0$ sur l'ouvert $]0,1[$. C'est ça ?
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • gebrane
    gebrane
    Pas exactement.
    Le 😄 Farceur


  • stef_stef
    stef_stef
    avec les conditions aux bords : f(0)=0 et f(1)=0 ?
  • gebrane
    gebrane
    Oui et il est comme de de resoudre l equation f'' +lambda f =0  (T(f)=-f'')
    Le 😄 Farceur


  • stef_stef
    stef_stef
    Et les valeurs propres ? on ne s'y intéresse pas ? ( puisque en dimension finie, pour déterminer la base orthonormale, on commence par déterminer les valeurs propres )
  • gebrane
    gebrane
    En cherchant les vecteurs propres, tu vas trouver les valeurs propres associées grâce aux conditions au bord
    Le 😄 Farceur


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