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Problème de Cauchy

vwvw
Modifié (29 Apr) dans Analyse
Salut,
$X$ espace de Hilbert.
Soit $\mathcal{A}:D(\mathcal A)\subset X\rightarrow X$ et $f:[0,T]\rightarrow X$
Quelle est la différence entre
$$\begin{cases}U_{t}(t)=\mathcal{A} U(t)+f(t),& \forall t>0, \\U(0)=U_{0}\end{cases} \qquad\text{et}\qquad \begin{cases}U_{t}(t) \in \mathcal{A} U(t)+f(t),& \forall t>0, \\U(0)=U_{0}\end{cases}$$ où, $U_t$ est la dérivée de $U$ par rapport à $t$.

Réponses

  • Modifié (29 Apr)
    Bonjour.
    Tout dépend de qui est $\mathcal{A}$. Et tu ne l'as pas dit ...
    Cordialement.
    NB : Je ne comprends pas non plus qui est $A$. Est-ce le nom d'une inclusion ?
  • En fait, j'ai oublié d'écrire la commande \mathcal avant le A. j'ai rectifié l'énoncée. 
  • Modifié (29 Apr)
    Il reste encore des problèmes (par exemple, c'est sans doute $D(\mathcal A)$), mais en tout cas, je ne comprends pas d'où pourrait sortir le symbole d'appartenance si l'inconnue $U$ est bien une application de $[0,T]$ dans $X$.
    Cordialement.
  • Modifié (29 Apr)
    Bonjour dans le deuxième cas c'est peut être lorsque $\mathcal{A}$ est une fonction multivalué et du coup $ \mathcal{A} : D(\mathcal{A}) \mapsto \mathcal{P}(X)$ où $\mathcal{P}(X)$ est l'ensemble des parties de $X$ comme exemple de fonction multivalué tu as le sous-différentiel d'une fonction convexe, l'image réciproque d'une fonction quelconque.
  • vwvw
    Modifié (29 Apr)
    $\mathcal{A}$ est un opérateur multivalué dans le cas d'inclusion et dans l'égalité $\mathcal{A}:D(\mathcal{A})\subset X\rightarrow X$.
  • Modifié (30 Apr)
    Tu veux dire dans le cas d'appartenance ? Dans tout les cas si c'est un opérateur multivalué tu dois le préciser dans la question au début.
    Et si $\mathcal A$ est un opérateur multivalué tu ne peux pas le manipuler avec des signes d'égalités à part si  à un moment donné tu prouves qu'il est monovalué au moins à certains endroits.

  • Ok. Merci beaucoup.
  • vwvw
    Modifié (30 Apr)
    Salut,
    Soit $X$ un espace de Hilbert et  $A: X \rightarrow 2^{X}$ opérateur non linéaire multivalué.
    $2^{X}$ l'ensemble de parties de l'ensemble $X$.
    Le problème de Cauchy dans ce cas est donné par :
    $U_t(t)+AU(t)\ni f(t), \ t \in [0,T]$
    $U(0)=U_0$
    $A$ est $\omega$-$m$ accretive c'est-à-dire :
    $\langle (A+\omega I) U,U\rangle \geq 0 $ et $R(I+\lambda A)=X $ pour certain  $\lambda >0$, $\omega \in \mathbb{R}^+$.
    Si $A$ is  $\omega$-$m$ accretive, $u_0 \in D(A)$ et $ f \in L^{1}(0,T;X)$ alors le problème de Cauchy a une solution unique  $ u\in C([0,T];X)$ (Livre " Nonlinear differential equations of monotone types in Banach spaces").
    Si $A:D(A)\subset X\rightarrow X$ un opérateur non linéaire monovalué. Est-ce que l'on peut appliquer le résultat précédent avec :
    $U_t(t)+AU(t)=f(t) \;t \in [0,T] $
    $U(0)=U_0$
    [Restons dans le discussion que tu as ouverte sur ton problème. AD]
  • Modifié (30 Apr)
    vw a dit :
    $U_t(t)+AU(t)\in f(t), \ t \in [0,T]$
    Fais attention ici le symbole appartient est dans le ''mauvais sens''.
    Quel est la définition de $R$ ?
  • vwvw
    Modifié (30 Apr)
    Oui..c'est vrai. je l'ai rectifié.
    $R (I+\lambda A)$ est l'image de $I+\lambda A$. 

  • Modifié (1 May)
    Je ne suis pas sûr mais je pense que oui en disant qu'un opérateur monovalué c'est un cas particulier d'un opérateur multivalué.
  • vwvw
    Modifié (13 May)
    Salut,
    On suppose que 
    $X$ un espace de Hilbert.
    $A: X\rightarrow 2^{X}$
    $2^{X}$ est l'ensemble de parties de $X$.
    $I$ l'opérateur d'identité
    $\lambda >0$
    $Au=\{Au\}$si $u\in D(A)$
    $Au=\emptyset$ sinon
    On veut montrer que $R(\lambda I-A)=X$
    $R(\lambda I-A)$ est l'image de $\lambda I-A$ 
    pour cela on cherche $\forall  h\in X ,u\in X$ tel que $\lambda u-Au=h$
    je veux tout d'abord chercher $u\in D(A)$ tel que $\lambda u-Au=h $. Mais le problème dans le cas où $u$ n'appartient pas à $D(A)$. comment je dois écrire ça " $\forall h\in X$ chercher $u\in D(A)^{c}$ tel que  $\lambda u-?=h $"? quel est l'élément que je dois écrire?
    $u\in D(A)^{c}$: u appartient a $X$ et n'appartient pas à $D(A)$.
  • Modifié (3 May)
    Bonjour,
    Il manque des hypothèses avec ce que tu as dit on ne peut pas conclure.
    Et pour ta définition de surjectif il faut mettre les quantificateurs dans le bon sens sinon ça ne marche pas.
    c'est : $\forall h \in X$ on cherche $u$...
  • vwvw
    Modifié (13 May)
    Dans quelque ouvrages , on trouve cette expression
    Soit $A:D(A)\subset X \rightarrow X$ un opérateur multivoque je ne comprends pas comment l’opérateur $A$ est multivoque et en même temps l'espace d'arrivé est $X$. Avez-vous une idée sur ça ?
  • Modifié (13 May)
    Bonjour.
    le fait de dire multivoque évite de dire que l'espace d'arrivée est $\mathcal P(X)$. Une application multivoque de $X$ dans $X$ est une application de $X$ dans $\mathcal P(X)$.
    Cordialement.
  • Modifié (13 May)
    Cherche le livre de Benilan, Crandall and Pazy .
    edit   Ph. Bénilan - M.G. Crandall - A. Pazy, Evolution Equations governed by accretive operators

    Tu y trouvera ton bonheur
    -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
    Citation en cours
  • @gebrane ..Est-ce que vous pouvez m'envoyer le livre car je l'ai pas trouvé et merci d'avance.
  • vwvw
    Modifié (2 Jul)
    Salut
    Soit $X$ un espace de Hilbert.
    Soit $\mathcal{A}: D(\mathcal A)\subset X\rightarrow X$ non linéaire et  $f:[0,+\infty)\rightarrow X$
    $$\begin{cases}U_{t}(t)=\mathcal{A} U(t)+f(t),& \forall t>0, \\ U(0)=U_{0}\end{cases} $$
     Je cherche des références de théorèmes  d'existence et d'unicité d'une solution $U$ in $[0,+\infty)$.
    J'ai trouvé quelque théorèmes mais dans le cas où  $U$ est défini sur $[0,T]$ et non pas sur $[0,+\infty)$ et pour le cas d'inclusion :
    $\mathcal{A}: D(\mathcal A)\subset X\rightarrow X$ nonlinéaire  multivalué et $f:[0,T]\rightarrow X$ $$\begin{cases}U_{t}(t)\in\mathcal{A} U(t)+f(t),& \forall t\in[0,T], \\U(0)=U_{0}\end{cases} $$
  • Modifié (2 Jul)
    Bonjour
    Dans un problème de Cauchy, l'on s'attend à voir des dérivées ; c'est quand même le minimum. Même si les notations sont anglo-saxonnes, tu peux faire un effort de rédaction. Par exemple, est-ce que $U_{t}(t)\in\mathcal{A} U(t)+f(t)$ a du sens ?
  • Modifié (2 Jul)
    C'est aussi confus que le premier message du genre :
    [Discussions fusionnées. AD]
  • @Thierry Poma..oui il a du sens si l'opérateur $\mathcal{A}$ est un opérateur multivalué.
    @JLapin..confusion?
  • @vw Oui, tes messages sont souvent peu intelligibles (synonyme de confus).
  • je comprends pas pourquoi l'admin a fusionné les discussions. Ça vraiment complique les choses !
    j'ai oublié quelque données pour le premier discussion(28 Avril)..mais pour la discussion d'aujourd'hui , elle est claire.
    @JLapin..Merci pour votre passage.

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