Décomposition de Cartan
Bonjour,
considérons la matrice $M := \left(\begin{array}{cc}
1&\frac{1}{2}\\
0&1\\
\end{array}
\right)$.
Est-ce qu'il est possible de l'écrire comme un produit $M_1M_2M_3$ où $M_1$ et $M_3$ sont à coefficients rationnels, tous de valuation $2$-adique positive, et $M_2$ diagonale à coefficients puissances entières (relatives) de $2$ ?
Si j'ai le droit à une quatrième matrice $M_0$ qui est diagonale à coefficients puissances entières relatives de $2$, oui : on pose
$A_0 := \left(\begin{array}{cc}1&0\\0&\frac{1}{2}\\ \end{array}\right)$, $\quad A_1 := \left(\begin{array}{cc}1&-1\\0&1\\\end{array}\right)\ $ et $\ A_2 := \left(\begin{array}{cc}1&0\\0&2\\\end{array}\right)$,
$A_3 := I_2$, alors $A_3A_2A_1A_0M = I_2$ d'où est le produit des inverses de $A_0$, $A_1$, $A_2$ et $A_3$ dans cet ordre est $M$ ! Mais j'aurais bien aimé qu'il n'y ait pas besoin de $A^{-1}_0$.
considérons la matrice $M := \left(\begin{array}{cc}
1&\frac{1}{2}\\
0&1\\
\end{array}
\right)$.
Est-ce qu'il est possible de l'écrire comme un produit $M_1M_2M_3$ où $M_1$ et $M_3$ sont à coefficients rationnels, tous de valuation $2$-adique positive, et $M_2$ diagonale à coefficients puissances entières (relatives) de $2$ ?
Si j'ai le droit à une quatrième matrice $M_0$ qui est diagonale à coefficients puissances entières relatives de $2$, oui : on pose
$A_0 := \left(\begin{array}{cc}1&0\\0&\frac{1}{2}\\ \end{array}\right)$, $\quad A_1 := \left(\begin{array}{cc}1&-1\\0&1\\\end{array}\right)\ $ et $\ A_2 := \left(\begin{array}{cc}1&0\\0&2\\\end{array}\right)$,
$A_3 := I_2$, alors $A_3A_2A_1A_0M = I_2$ d'où est le produit des inverses de $A_0$, $A_1$, $A_2$ et $A_3$ dans cet ordre est $M$ ! Mais j'aurais bien aimé qu'il n'y ait pas besoin de $A^{-1}_0$.
En fait, on m'a dit, plus généralement, que si $\mathbb{K}$ est un corps muni d'une valuation discrète $v$, si $O$ est l'anneau des éléments de valuation positive, si $\pi$ est une uniformisante, alors $GL_n(\mathbb{K}) = GL_n(O)\,D\,GL_n(O)$ où $D$ est le sous-groupe des matrices diagonales dont les coefficients sont des puissances de l'uniformisante.
Je pensais que ça se démontrait en étudiant l'algorithme d'échelonnement mais ma première tentative bloque sur l'exemple ci-dessus.
PS. J'ai des problèmes bizarres de LaTeX :\begin{pmatrix} n'avait pas l'air de marcher et parfois, je ne change rien à une ligne et ça me la change à l'aperçu...
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Amicalement,
Aurel
Aurel