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Décomposition de Cartan

Georges AbitbolGeorges Abitbol
Modifié (May 2022) dans Algèbre
Bonjour,
considérons la matrice $M := \left(\begin{array}{cc}
1&\frac{1}{2}\\
0&1\\
\end{array}
\right)$.
Est-ce qu'il est possible de l'écrire comme un produit $M_1M_2M_3$ où $M_1$ et $M_3$ sont à coefficients rationnels, tous de valuation $2$-adique positive, et $M_2$ diagonale à coefficients puissances entières (relatives) de $2$ ?
Si j'ai le droit à une quatrième matrice $M_0$ qui est diagonale à coefficients puissances entières relatives de $2$, oui : on pose
$A_0 := \left(\begin{array}{cc}1&0\\0&\frac{1}{2}\\ \end{array}\right)$, $\quad A_1 := \left(\begin{array}{cc}1&-1\\0&1\\\end{array}\right)\ $ et $\ A_2 := \left(\begin{array}{cc}1&0\\0&2\\\end{array}\right)$,
$A_3 := I_2$, alors $A_3A_2A_1A_0M = I_2$ d'où est le produit des inverses de $A_0$, $A_1$, $A_2$ et $A_3$ dans cet ordre est $M$ ! Mais j'aurais bien aimé qu'il n'y ait pas besoin de $A^{-1}_0$.
En fait, on m'a dit, plus généralement, que si $\mathbb{K}$ est un corps muni d'une valuation discrète $v$, si $O$ est l'anneau des éléments de valuation positive, si $\pi$ est une uniformisante, alors $GL_n(\mathbb{K}) = GL_n(O)\,D\,GL_n(O)$ où $D$ est le sous-groupe des matrices diagonales dont les coefficients sont des puissances de l'uniformisante.
Je pensais que ça se démontrait en étudiant l'algorithme d'échelonnement mais ma première tentative bloque sur l'exemple ci-dessus.
PS. J'ai des problèmes bizarres de LaTeX :\begin{pmatrix} n'avait pas l'air de marcher et parfois, je ne change rien à une ligne et ça me la change à l'aperçu...

Réponses

  • aurelpage0aurelpage0
    Modifié (May 2022)
    Bonjour
    Oui, par l'algorithme de la SNF (forme normale de Smith), qui est d'ailleurs encore plus simple en $p$-adique que sur $\Z$.
    $$ \begin{pmatrix}1 & 1/2 \\ 0  & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 1/2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix} $$J'imagine que tu voulais aussi imposer la condition que le déterminant de $M_1$ et celui de $M_3$ sont de valuation $2$-adique nulle.
    Amicalement,
    Aurel
  • aurelpage0aurelpage0
    Modifié (May 2022)
    Si tu veux retrouver l'algo tout seul, un indice : fais un pivot normal, mais en utilisant toujours comme pivot l'élément de la ligne (ou de la colonne suivant le sens dans lequel tu pivotes) de plus petite valuation.
    Aurel
  • Georges AbitbolGeorges Abitbol
    Modifié (May 2022)
    Coucou, merci Aurel. Bon, je n'ai pas exactement compris ton indice, mais voici ce que j'ai fait : parmi les coefficients de $M$, on en choisit un de valuation minimale. On annule tous les coefficients de sa ligne et de sa colonne en multipliant à gauche et à droite par des matrices de transvection de coefficient de valuation positive. On continue ensuite en considérant la matrice extraite de $M$ en oubliant la ligne et la colonne du coefficient traité et on continue ainsi. La matrice obtenue contient donc exactement un terme non nul par ligne et par colonne. Quitte à permuter les lignes, elle est diagonale. Quitte à multiplier par une matrice diagonale à coefficients dans les inversibles de $O$, cette matrice est diagonale à puissances de l'uniformisante.
    Ainsi, on a donc : pour toute matrice inversible $M$ à coefficients dans $\mathbb{K}$, il existe des matrices $M_1,M_2,P,D_1,D_2$ telles que :
    $D_2D_1PM_1MM_2 = I_n$ où $M_1$ et $M_2$ sont des produits de matrices de transvection à coefficients dans $O$ (en particulier elles sont dans $SL_n(O)$), $P$ est une matrice de permutation (avec des $-1$ à certains endroits pour la rendre de déterminant $1$), $D_1$ est diagonale à coefficients inversibles de $O$, et $D_2$ est diagonale à coefficients puissances de l'uniformisante. Pour de telles matrices, on a donc $M = \left(M^{-1}PD^{-1}_1\right)\cdot D^{-1}_2\cdot M^{-1}_2$, et on pose alors $D := D^{-1}_2$, $K_1 := M^{-1}PD^{-1}_1$ et $K_2 := M^{-1}_2$.
    Le déterminant de $D$ est $\pi^{\det(M)}$, le déterminant de $K_2$ est $1$ et celui de $K_1$ est $\det(D^{-1}_1) = \det(M)\pi^{-v(\det(M))}$ qui est de valuation nulle.
  • aurelpage0aurelpage0
    Modifié (May 2022)
    Ce n'est pas littéralement ce que j'avais en tête, mais ça marche tout à fait !
    Bonne soirée,
    Aurel
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