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Les groupes $\mathcal D_8$ et $\Bbb H_8$

Bonjour,
sachant que les groupes quaternion $\mathbb H_{8}$ et le groupe $\mathcal D_{8}$ sont non abélien d'ordre 8 ; comment prouver que ces 2 groupes ne sont pas isomorphes ?
Merci.

Réponses

  • Bonsoir Sdoula
    Comment définis-tu $\mathbb H_8$ et $\mathcal D_8$ ?
    Alain
  • Une façon naïve mais pénible à mettre en place consiste à comparer les tables de multiplication – je ne la recommanderais pas.
    Une autre un peu moins laborieuse consiste à compter les éléments de chaque ordre.
    Une troisième, c'est de déterminer les sous-groupes et distinguer ceux qui sont distingués. On peut aussi chercher les automorphismes.
    Ou encore réaliser « la » représentation de degré deux et en calculer les endomorphismes.
  • Oui, habituellement $\mathcal D_{8}$ a 16 éléments et non 8 sauf chez Smith en face.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Alain a raison, il faut voir d'abord comment tu définis tes deux groupes
  • Modifié (13 May)
    On voit facilement que dans $\mathbb H_8$ il y a un seul élément dont le carré vaut le neutre, tandis que dans $\mathcal D_4$ il y a cinq éléments de carré le neutre.
  • $H_8$ mois après...
  • Oups, je n'avais même pas vu !
  • Modifié (13 May)
    $\mathbb{H}_8$ sous l’escalier…
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Modifié (13 May)
    Bonjour, $H_8$ n'a qu'un élément d'ordre 2 et $D_4$ en a 5. Donc ils ne sont pas isomorphes.
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