Avec les bornes $0$ et $+\infty$ et le changement de variable $u(x)=nx^{n}$ formellement on se ramène à quelque chose qui ressemble à l'expression d'une fonction Bêta. Mais cela ne colle pas pour les exposants de $u$ et de $1+u$ si je vois bien.
@Gebrane: $n$ n'est pas fixé, c'est à priori, un réel quelconque.
On a $$\text{B}(x,y)=\int_0^\infty \frac{t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}dt,$$ avec $x>0,y>0$
Si on fait le changement de variable préconisé on va se retrouver avec un produit de $u^\alpha$ et $(1+u)^\beta$, le souci est que les exposants $\alpha$ et $\beta$ ne vont pas. L'intégrale n'est pas convergente quelque soit $n$ réel, si j'ai bien vu.
\begin{align*}n=1\ :&\qquad \int x(1+x)dx=\frac16 x^2(2x+3)+c\\n=2\ :&\qquad \int x\sqrt{1+2x^2)}dx=\frac16\left((1+2x^2)^{3/2}-1\right)+c\\n>0\ :&\qquad\int x(1+nx^n)^{1/n}dx=\frac12 x^2\:_2F_1\left(-\frac{1}{n}\:,\:\frac{2}{n}\:,\:\frac{n+2}{n}\:,\:-nx^n\right)+c\end{align*}$_2F_1$ : fonction hypergéométrique de Gauss. En général ($n>2$) n'est pas exprimable avec un nombre fini de fonctions élémentaires.
Réponses
je n’ai toujours rien trouvé.
Peut-on savoir cette mystérieuse ipp qui donne une primitive explicite (avec les fonctions usuelles ?)