Projecteurs et noyaux

Tony Schwarzer · May 2022

Bonjour,
On se donne $p$ et $q$ deux projecteurs de $E$ un espace vectoriel.
Il faut montrer : $E=\ker(f) \oplus \ker(f-id) \oplus \ker(f-2id)$.
Je n'y arrive pas. J'ai beau essayer par analyse synthèse, ça ne fonctionne pas... une indication svp ?

Rescassol · May 2022

Bonsoir,

$f$ n'a pas été présenté.

Cordialement,
Rescassol

Tony Schwarzer · May 2022

Vraiment désolé. $f$ est la somme $p+q$.

gai requin · May 2022

Tu n'aurais pas aussi oublié de dire que $p$ et $q$ commutent ?

Math Coss · May 2022

Une indication : quand deux endomorphismes commutent, les espaces propres de l'un sont stables par l'autre ; la restriction d'un endomorphisme diagonalisable à un sous-espace stable est diagonalisable.

gai requin · May 2022

Une autre piste

: Montrer que $X(X-1)(X-2)$ annule $f$ puis appliquer un célèbre lemme d'algèbre linéaire.

Math Coss · May 2022

Amusant ! In:

AA. = PolynomialRing(QQ,2)
I = AA.ideal([p^2-p, q^2-q, p*q-q*p])
f = p+q
f*(f-1)*(f-2) in I, expand(f*(f-1)*(f-2))

Out:

(True, p^3 + 3*p^2*q + 3*p*q^2 + q^3 - 3*p^2 - 6*p*q - 3*q^2 + 2*p + 2*q)

Projecteurs et noyaux

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