Questions à résoudre sujet ENS D 2022

Mis à part 1.1 et 1.3 le reste m'a l'air infaisable.

Je vais rester sur CCP - Centrale 

Il y a toujours du hors programme à maths D, l'année dernière il fallait démontrer le lemme de sous-additivité de Fekete qui nécessite la connaissance des limites sup et inf qui sont hors programme.

Les limites inf et sup sont hors programme : ok, je te crois, savoir ce qui est au programme, c'est ta seule expertise.
N'empêche que, dans le cadre d'un exercice, on peut parfaitement avancer étape par étape, faire 'découvrir' la notion de limite inf et limite sup, et arriver à la démonstration du lemme de sous-additivité.
Dans une épreuve de 4heures, ça paraît très raisonnable.

Si on s'interdit ça, on s'interdit tout exercice.

@etanche
Pour la question 1.2 : 
On vérifie grâce à 1.1 que $]a,1]$ stable par $P_a$.
soit $x \in ]a,1]$ on pose  $H_n : P_{n+1}^a(x) \geq  P_n^a(x)$ 
on regarde le signe de  $P_a(x)-x$ on a $H_0$ vraie.
 soit $n \in N$ on suppose $H_n$ 
$P_{n+2}^a(x)= P_a(P_{n+1}^a(x))$ par croissance de $P_a$ on a $P_a(P_{n+1}^a(x))) \geq P_a(P_{n}^a)(x))$ d'ou $P_{n+2}^a(x) \geq  P_{n+1}^a(x)$
on en déduit le que la suite $(P_{n}^a(x))$ est croissante par récurrence.
Donc la suite $(P_n^a(x))$  est croissante majoré donc elle est convergente or c'est une suite récurrente du type $f(u_n)= u_{n+1}$ donc elle converge nécessairement vers un point fixe de la fonction $P_a$ le seul point fixe de $P_a$ dans $]a,1]$ est $1$.
Donc on a convergence simple sur $]a,1]$ de $(P_{n}^a) $ vers 1.
On montre maintenant la convergence uniforme sur tout compact : (ici on aurai peut être pu aussi utiliser les théorèmes de type Ascoli mais je crois que ce n'est pas au programme?)
Soit $K$ un compact de $]a,1]$
Soit $\epsilon >0$ on pose pour tout $n \in N$    $U_n = \{ x \in ]a,1], 1-P_n^a(x)< \epsilon\}$
$U_n$ est un ouvert par continuité des $P_n^a$ et on a le recouvrement ouvert (grâce à la convergence simple) $ K \subset  \bigcup_{n  \in \mathbb{N}} U_n$
comme $K$ est compact il existe $N_{\epsilon}$ tel que $K \subset  \bigcup_{n  \leq N_{\epsilon}} U_n$ ( Borel-Lebesgue)
Or comme pour tout $x \in ]a,1] (P_n^a(x))$ est croissante  $  \bigcup_{n  \leq N_{\epsilon}} U_n = U_{N_{\epsilon}}$
Donc $K \subset U_{N_{\epsilon}}$ 
Et par croissance de $(P_{n}^a)$ on a $\forall x \in K ~~ \forall n > N_{\epsilon}~~~~, 1-P_n ^a(x)< 1 - P_{N_{\epsilon}}^a(x)< \epsilon$
Donc  $ \forall \epsilon$ il existe   $\N_{\epsilon}$ tel que $\forall n > N_{\epsilon} ~~ \forall x \in K ~~1-P_n ^a(x)< \epsilon$
d'ou la convergence uniforme sur tout compact.

Pour la deuxieme partie de la question on fait un raisonnement analogue en remarquant que sur $[0,a[ $ la suite de fonction $(P_n^a)$ est décroissante.

edit : pour $U_n$ on prend les $x$ dans ]a,1] 

Barjovrille a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2356963/#Comment_2356963

[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]

Pour rester dans le programme, il me semble qu'on peut écrire :
Je note $M$ le compact considéré, et je note $b$ sa borne inférieure :
$\lvert P_{n+1}(x)-1 \rvert \leq \lvert P_{n}(x) -1\rvert \lvert (1-\lambda)(P_n(x)-a)P_n(x) \rvert  $
Puisque $P(x) \in [0;1]$, on a $\lvert (1-\lambda)(P_n(x)-a)P_n(x) \rvert \leq K$, où 
$K=\sup_{[0;1]} \lvert Q \rvert$; où $Q$ désigne le polynôme $Q(x)=1-\lambda x(x-a)$. On peut alors en déduire que pour tout $x$ dans le compact, on a : 
$\lvert P_{n+1}(x)-1 \rvert \leq K \lvert P_{n}(x) -1\rvert  $
Par ailelurs, $P_{n}(x) -1 \leq 0$, et $P_n$ étant croissante (par composition), on a alors :
$\lvert P_{n+1}(x)-1 \rvert \leq K (1- P_{n}(x)) \leq K (1-P_n(b)) $
Soit alors $\epsilon \geq 0$. Puisque $b \in ]a;1]$, la suite $1-P_{n}(b)$ converge vers 0, et il existe notamment $n_0 \in \mathbb{N}$ tel que $n>n_0$ implique $1-P_{n}(b) < \epsilon$. Ainsi, il existe n_0, tel  que : $n \geq n_0$ implique que pour tout $x$ dans le compact, on a :
$\lvert P_{n+1}(x)-1 \rvert  \leq K\epsilon $
Soit : 
$\lvert \lvert P_{n+1}-1\rvert \rvert_M \leq K \epsilon $
Ce qui signifie, par définition, que la convergence est uniforme. Même chose, ensuite, pour l'autre côté. 
PS : on peut aussi, plus simplement, utiliser le théorème de Dini (mais je ne suis pas sûr qu'il soit au programme de prépa). En effet, on a : 
  * M est un compact 
  * la fonction vers laquelle $P_n$ converge (la fonction constante égale à $1$, en l’occurrence est bien continue)
  * Pour tout $x \in M$, $P_n(x)$ est monotone (dans le cas précédent, croissante). 
Donc la convergence est bien uniforme.

Pour la 4.3, on peut écrire :
\[ f’(t) = - B(\gamma(a),\gamma’(t)) = B(f(t)\gamma(t)-\gamma(a),\gamma’(t)).\]
Les deux vecteurs précédent sont dans $T_{\gamma(t)} \mathcal{H}$, donc on peut appliquer l’inégalité de Cauchy-Schwarz d’après la question précédente :

Bonjour

Je profite de l'ouverture de ce fil pour poser une question 

A la question 2.2   faut il forcément utiliser des résultats d'optimisation sous contrainte ?
Si oui ,  j'arrive à monter qu'un éventuel extremum de B(v1,v2)  avec v1 fixé dans H et v2 dans H prend la valeur -1 ( atteinte du reste avec v2=v1)
 Mais il s'agit d'une condition nécessaire (obtenue en écrivant que le gradient de la fonction à optimiser et
celui de la contrainte sont colinéaires)  celà n'est pas suffisant pour en déduire que B(v1,v2) =< -1
comment procéder ?

j'ai  aussi pensé écrire v2=a v1 +w1  avec w1 dans v1+ ( cf question précédente)
on a alors B(v1,v2)= -a
et utiliser la contrainte B(v2,v2)=-1  mais sans succès ...

Merci

Bonjour @LOU16,
comment tu as fait pour avoir l'inégalité (2) ?

@etanche Merci, je ne connaissais pas cette inégalité, 
j'ai réussi a la démontrer en développant $(\sqrt{u+1} -\sqrt{v+1} -1)^2$ et en utilisant l'inégalité $2ab \leq a^2 + b^2$  pour minorer. Est-ce que vous connaissez une autre façon d'obtenir cette inégalité ?

Merci !

Et là à nouveau on a deux possibilités.2) Soit $B(h_2(g_2(v_2)),w_3)<0$.
Cette démonstration me parait horriblement compliquée (mais j'ai des démonstrations encore plus compliquées dans la partie 6). Il y a peut-être plus simple...

Merci  Dagothur pour cette proposition pour le 5-6
Dans la démo , je pense que les g1, g2, etc..  ne sont pas forcément Sw3 mais Sw3 ou Id 
Pour la contradiction finale , effectivement l'invocation de 5-1 semble convenir puisque les gn sont toutes différentes
( car différentes au moins sur le vecteur v  du fait des inégalités strictes ) et on aurait  donc une infinité de g   satisfaisant  d( g(v), v0) < R= d(g1(v),v0)
il y a peut être plus simple mais bravo cependant !

Bonjour

Dans le message précédent , pour la question 6-3 je me suis égaré sur la  démonstration de la possibilité d'une même constante pour tous les vecteurs de Pk.
Merci donc d'ignorer cette partie du message.
(Par ailleurs je vous prie de bien vouloir m'excuser de ne pas utiliser Latex que je ne connais pas du tout .)


Pour 6-3 on peut écrire  plus simplement 
 
 pour g dans Gama telle  que gv dans T
d(v0,gv0) =<  d(v0,gv) + d(gv,gv0)

soit d(v0,gv0) =<  delta + d(v,v0)
en ayant noté delta= diamètre de T (qui est compact donc diamètre fini)

Ensuite d'après la question 5-1  appliquée à (v0,gv0) et R= delta+ d(v0,v)  
 l'ensemble de ces g est fini  et le cardinal dépend donc à priori de z_v
On peut alors juste dire que pour tous les vecteurs de H en dessous d'une hauteur donnée alors la constante C peut être choisie identique .

La question demeure donc de l'existence d'une même constante pour tous les vecteurs de H .
Est ce que je comprends mal l'énoncé , sa formulation est elle ambiguë ?

quoi qu'il en soit , pour la question  6-4 qui suit   , je pense avoir démontré  une partie de l'encadrement  proposé , sans avoir besoin que C soit la même pour tout s .
( A noter que l'énoncé évoque arcch(s) pour s >= 0 , sans doute une coquille et qu'il faut considérer s>=1)

Pour la première inégalité

IPk(s)I =< I Gama( arcch(s) + D I . I Pk inter T I

on peut considérer  une injection  Phi de  l'ensemble   Pk(s)   dans le produit cartésien  Gama (arcch(s) + D)  X  (Pk inter T)
qui a tout v  de Pk(s) associe le couple ( g_v , g_v(v))
Ceci est rendu possible car l'existence de g_v  , avec g_v(v)  dans T est donnée à la question  5-6 , et on a aussi la stabilité de Pk par Gama;   par ailleurs avec la définition de D il est facile de montrer que g_v est bien un élément de Gama( arcch(s)+D)
Le caractère injectif  de Phi ne pose pas de problème car g_v élément d'un groupe est bijective .

Pour l'autre partie de l'encadrement

1/C  IGama(arcch(s)-D) I . I Pk inter T I  =<  I Pk(s) I 

 c'est plus compliqué !  Peut être en quotientant l'un des deux ensembles du produit cartésien  Gama( arc(s)-D) X ( Pk inter T) par le choix d'une relation d'équivalence appropriée qui rendrait injective une application bien choisie  de ce nouveau produit dans Pk(s) 
Je pensais à introduire  dans (Pk inter T ) la relation  d'équivalence   v R v' si  et ssi  il existe g dans Gama  tel que v'= gv   alors les classes  ont un cardinal  < C(s)  et donc en notant (Pk inter T)/ l'ensemble quotient  on aurait 

(1/C)  I Pk inter T I  =<  I (Pk inter T)/ I   ce qui va dans le bon sens pour conclure...

mais je n'arrive pas à construire une bonne application ...

Si vous avez des suggestions merci d'avance !

Dans le 1er message de ce fil de discussion il y a un lien vers l'énoncé de ce sujet.

Madec a dit :

Pour l'autre partie de l'encadrement
1/C  IGama(arcch(s)-D) I . I Pk inter T I  =<  I Pk(s) I 
 c'est plus compliqué !  Peut être en quotientant l'un des deux ensembles du produit cartésien  Gama( arc(s)-D) X ( Pk inter T) par le choix d'une relation d'équivalence appropriée qui rendrait injective une application bien choisie  de ce nouveau produit dans Pk(s) 
Je pensais à introduire  dans (Pk inter T ) la relation  d'équivalence   v R v' si  et ssi  il existe g dans Gama  tel que v'= gv   alors les classes  ont un cardinal  < C(s)  et donc en notant (Pk inter T)/ l'ensemble quotient  on aurait 
(1/C)  I Pk inter T I  =<  I (Pk inter T)/ I   ce qui va dans le bon sens pour conclure...
mais je n'arrive pas à construire une bonne application ...
Si vous avez des suggestions merci d'avance !

Je précise un peu où j'en étais de la construction d'une application  Psi  de   Gama( arch(s) -D)  X  (Pk inter T)/   vers Pk(s)
on choisit un représentant quelconque  v dans la classe d'équivalence v/   et on pose Psi(g,v/) = gv
la fonction dépend du représentant choisi dans chaque classe, mais au fond ce n'est pas gênant.
Il est facile de voir que  gv est un élément de  Pk(s) grâce à la définition de D.
Par ailleurs pour  l'injectivité de Psi  
si  gv=g'v'  alors v' =g'-1 g v  donc les classes sont les mêmes et v'=v
resterait à montrer  que gv= g'v  entraine que g= g' pour garantir l'injectivité  mais je n'y parviens pas ...

Bonjour

Dagothur c'est  fin et limpide , merci !

J'abuse peut  être ! Mais aurais tu une solution pour l'encadrement  de  I Pk(s) I  qui suit  au 6-4 , enfin pour l'inégalité de gauche ( car celle de droite je pense l'avoir obtenue).

Merci etanche😉

Bonjour
Merci Dagothur 
Alors je n'hésite pas  à poser d'autres questions !

À la question 6-5   après un développement limité de  cos( alpha e^-t)
 j'obtiens bien la limite demandée  lorsque t ---> + infini 
           d( F(t, teta) , F(t, teta + alpha e^-t)) ----> argch( 1+ (alpha^2)/8 ).
Mais que signifie
" la  convergence est  uniforme ..."  dans le cadre  d'une  limite de fonction  f( t, teta ,alpha)  sur l'adhérence de l'un de ses arguments (ici t) ?

Je connais la notion de convergence uniforme pour les suites ou les séries de fonction indicées par N,
il y a aussi la notion de continuité uniforme pour une fonction.