Matrice et diagonalisation
Bonjour
Un nouvel exercice d'oral CCINP 2021, horriblement calculatoire. Je bloque à la question 5a...
1) J'effectue l'opération L3 <- L3-L2 et j'obtiens après avoir développé selon la première colonne que $\chi_M(X)=X^3-3X^2+3X-1$.
Donc $\boxed{\chi_M(X)=(X-1)^3}$.
2) L'unique valeur propre est $1$. Déterminons le sous-espace propre associé à la valeur propre $1$.
Je trouve $E_{1} (M)= (-1,2,1) \R$ donc c'est une droite vectorielle, ainsi, la somme des dimensions des sous-espaces propres n'est pas égale à $3$ donc $M$ n'est pas diagonalisable.
3) On a $(M-I_3)^3=0$. Par la formule du binôme de Newton comme $M$ et $M-I_3$ commutent, on a $M^n= I_3 + n(M-I_3)+ \dfrac{n(n-1)}{2} (M-I_3)^2$.
Donc $\boxed{M^n=\begin{pmatrix}
1-2n-\dfrac{n(n-1)}{2} & 3n+\dfrac{n(n-1)}{2} & -8n - \dfrac{ 3n(n-1)}{2}\\
n^2 & -n^2-2n+1 & 3n^2+4n \\
n+\dfrac{n(n-1)}{2} & -2n-\dfrac{n(n-1)}{2} & 1+5n+\dfrac{3n(n-1)}{2}
\end{pmatrix}}$
4) On a une suite à valeurs dans un espace vectoriel normé, elle converge si et seulement si chaque composante dans la base canonique $(E_{ij})$ de $M_3 (\R)$ converge.
Comme $n (n-1) \sim n^2$, on vérifie facilement que $(\dfrac{1}{n^2} M^n)$ converge vers $\boxed{A=\begin{pmatrix}
-1/2 & 1/2 & -3/2\\
1 & -1 & 3 \\
1/2 & -1/2 & 3/2
\end{pmatrix}}$
Un nouvel exercice d'oral CCINP 2021, horriblement calculatoire. Je bloque à la question 5a...
1) J'effectue l'opération L3 <- L3-L2 et j'obtiens après avoir développé selon la première colonne que $\chi_M(X)=X^3-3X^2+3X-1$.
Donc $\boxed{\chi_M(X)=(X-1)^3}$.
2) L'unique valeur propre est $1$. Déterminons le sous-espace propre associé à la valeur propre $1$.
Je trouve $E_{1} (M)= (-1,2,1) \R$ donc c'est une droite vectorielle, ainsi, la somme des dimensions des sous-espaces propres n'est pas égale à $3$ donc $M$ n'est pas diagonalisable.
3) On a $(M-I_3)^3=0$. Par la formule du binôme de Newton comme $M$ et $M-I_3$ commutent, on a $M^n= I_3 + n(M-I_3)+ \dfrac{n(n-1)}{2} (M-I_3)^2$.
Donc $\boxed{M^n=\begin{pmatrix}
1-2n-\dfrac{n(n-1)}{2} & 3n+\dfrac{n(n-1)}{2} & -8n - \dfrac{ 3n(n-1)}{2}\\
n^2 & -n^2-2n+1 & 3n^2+4n \\
n+\dfrac{n(n-1)}{2} & -2n-\dfrac{n(n-1)}{2} & 1+5n+\dfrac{3n(n-1)}{2}
\end{pmatrix}}$
4) On a une suite à valeurs dans un espace vectoriel normé, elle converge si et seulement si chaque composante dans la base canonique $(E_{ij})$ de $M_3 (\R)$ converge.
Comme $n (n-1) \sim n^2$, on vérifie facilement que $(\dfrac{1}{n^2} M^n)$ converge vers $\boxed{A=\begin{pmatrix}
-1/2 & 1/2 & -3/2\\
1 & -1 & 3 \\
1/2 & -1/2 & 3/2
\end{pmatrix}}$
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Réponses
$\det(M)= 1^3=1$ donc $M$ est inversible. Mais je ne comprends pas trop le rapport avec la question $5.a$.
De plus $X_{n-1} = M^{n-1} X_0$ et $X_n =M^n X_0$ donc $X_n= M X_{n-1}$. Si $X_n=0$ alors $M X_{n-1}=0$ donc $X_{n-1} \in \ker (M)$.
Je réfléchis à la dernière question...
Bon voilà ma réflexion : quand je vois $\sqrt{x_n^2+y_n^2+z_n^2}$ au dénominateur, je me dis "tiens c'est la norme euclidienne du vecteur $(x_n,y_n,z_n)$". "Oh mais quel heureux hasard, il s'avère que dans l'exo, ce vecteur a un nom, il s'appelle $X_n$ et on sait déjà des choses sur le comportement asymptotique de ce $X_n$ (puisqu'on sait des choses sur $M^n$), incroyable non ?" Et encore plus fou, on va donc pouvoir en déduire un équivalent du terme général de la série !
Voilà, ce qui doit se passer dans ta tête. Mais laisse moi deviner : tu regardes et tu te dis "flemme, dernière question de l'exo donc elle doit être difficile, je vais demander aux gens". Bon maintenant que je t'ai dit tout ça, tu vas t'appliquer à faire une belle solution pour faire genre "tu as bossé" mais bref, le mal est déjà fait.
On a $X^n =M^n X_0$ donc $\dfrac{1}{n^2} X_n = \dfrac{1}{n^2} M^n X_0$
Donc $\boxed{\dfrac{1}{n^2} X_n \longrightarrow AX_0}$
Ce qui signifie qu'en prenant la norme euclidienne que $|| \dfrac{1}{n^2} X_n - AX_0|| \longrightarrow 0$.
Mais $AX_0 = \begin{pmatrix}
-1/2 & 1/2 & -3/2\\
1 & -1 & 3 \\
1/2 & -1/2 & 3/2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x_0 \\
y_0 \\
z_0
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
-x_0 /2 +y_0/2 -3z_0 /2\\
x_0 -y_0+3z_0 \\
x_0/ 2 -y_0/2 + 3z_0 /2
\end{pmatrix}$
Je ne comprends pas comment tu passes aux équivalents, je n'ai pas étudié les équivalents avec les normes, j'ai juste des propriété sur les o et les O avec les normes.
Merci je vais essayer de terminer.
Je pense qu'on est tous un peu coupable de donner trop d'indices ou des indices trop gros. Par exemple "peux-tu exprimer le terme général en fonction de $X_n$ ?" puis "peux-tu trouver un équivalent simple de $\frac{n}{||X_n||}$ ? Evidemment, ça fait que le topic fait 150 posts au lieu de 10 mais peut-être qu'il fera un peu par lui-même. Mais je vous rejoins : si on doit l'aider et le relancer plus de 2 fois sur une question, c'est déjà trop. Le jour-j, il aura maximum une seule indication en sachant que la plupart des questions n'en ont pas. Bon, là, c'est un exo d'oral donc il va y avoir discussion... J'aimerais bien voir ça !
Tu dis en fait 'Non, je n'ai pas d'excuse, c'et bien un truc que j'ai étudié, et comme d'habitude, je l'ai étudié, mais je suis incapable de faire le rapprochement.'
Et à aucun moment, tu ne tires la conclusion : J'étudie plein de trucs, mais je suis systématiquement incapable de les utiliser.
$||A X_0||$ est non nul car la deuxième coordonnée qui est $x_0-y_0+3z_0 \ne 0$ par hypothèse.
En fait, les 3 coordonnées sont non nulles mais même ça, tu ne l'avais pas vu... Et puis, j'ai du te dire de montrer que $||AX_0|| \neq 0$, toujours pas un réflexe autonome. Rappelle moi en quelle classe on apprend qu'un dénominateur nul, c'est pas très beau ? C'est pas au lycée en tout cas !